一些好玩的数论

一个有趣的公式

公式

∑i=1ni3=(∑i=1ni)2

这个公式很好证明， 又很好用。

证明：

(n+1)4−n4=4n3+6n2+4n+1

n3=14[(n+1)4−n4]−32n2−n−14

∑i=1ni3=14[(n+1)4−1]−32∗16n(n+1)(2n+1)−n−14(n+1)n2=14(n4+2n3+n2)=(12n(n+1))2=(∑i=1ni)2

公式背后

我们可以知道 fx=xn 这是一个积性函数。

(*)而定理告诉我们 Fn=∑m|nfm 也是一个积性函数。

令 dn=∑m|n1 .

由(*)可知 dn 是一个积性函数。

∴[d]3 也是积性函数。

∴∑m|n(dm)3 也是积性函数。

同理 (∑m|ndm)2 也是积性函数。

我们可以发现 ∑m|n(dm)3=(∑m|ndm)2

一个小学就应该知道的东西

整除7

我们知道怎么快速地判断一个数是否是2、3、5、9的倍数，但是7的话，老师一直没有教我们。

我们把需要判断的数按位写下来，然后从低位到高位顺次乘1, 3, 2, 6, 4, 5判断和是否是7的倍数就好了。

例如：1234485 5∗1+8∗3+4∗2+4∗6+3∗4+2∗5+1∗1=84 是7的倍数，所以原数是7的倍数。

证明

1≡1(mod7),10≡3(mod7),100≡2(mod7) 等等。

整除11

现在讲讲如何判断一个数是11的倍数。

把这个数的第奇数位的和减去第偶数位的和，判断是否是11的倍数。

例如：2728 8+7−2−2=11 所以原数是11的倍数。

证明：

易得 102k+1≡1(mod11),102k≡−1(mod11) .

一定是质数

这个没什么用，只是好玩。

fn=n2+n+41,n∈N , n 非41的倍数。这一定是个质数。

判断质数

判断质数我喜欢用Miller-Rabin。但是还有其他的方法。

主要是因为Miller-Rabin是个随机性算法。

Wilson定理

正整数 n>1 ,则 n 是一个素数当且仅当 (n−1)!≡−1(modn) 。

证明：

充分性
当 p 不是素数，那么令 p=a∗b ,其中 1<a<p−1,1<b<p−1 .
(1) a≠b

∵(p−1)!=1∗2∗...∗a∗...∗b∗...∗p−1

∴(p−1)!≡0(moda)

∴(p−1)!≡0(modb)

∴(p−1)!≡0(moda∗b)

∴(p−1)!≡0(modp)

与 (p−1)!≡−1(modp) 矛盾

(2) a=b

∵(p−1)!=1∗2∗...∗a∗...∗2a∗...∗p−1

∴(p−1)!≡0(moda)

∴(p−1)!≡0(mod2a)

∴(p−1)!≡0(mod2a2)

∴(p−1)!≡0(moda2)

∴(p−1)!≡0(modp)

与 (p−1)!≡−1(modp) 矛盾

因此 p 只能是素数。

必要性：必要性证明和欧拉定理类似。

Fibonacci GCD’s

设 fi 表示斐波那契数列第 i 项。
f1=1,f2=1,fi=fi−1+fi−2,i>3
gcd(fm,fn)=fgcd(m,n)

证明：
(1) gcd(fn,fn−1)=1

gcd(fn,fn−1)=gcd(fn−fn−1,fn−1)=gcd(fn−2,fn−1)=gcd(f2,f1)=1

(2) fm+n=fm−1fn+fmfn+1
若 n=1 ,

fm+1=fm+fm−1=fm−1fn+fmfn+1

若 n=2

fm+2=fm−1+fm+fm=fmf3+fm−1f2=fm−1fn+fmfn+1

若 n>2,n=k+1
由 n=k,n=k−1⇒n=k+1

fm+n=fm+k+fm+k−1=fm−1fk+fmfk+1+fm−1fk−1+fmfk=fm−1fk+1+fmfk+2=fm−1fn+fmfn+1

(3)由(2)可得
如果 m|n ，那么 fm|fn .

令 n=qm+r

gcd(fm,fn)=gcd(fm,fqm+r)=gcd(fm,fqm+1fr+fqmfr−1)=gcd(fm,fqm+1fr)=gcd(fm,fr)

又可知 gcd(n,m)=gcd(m,r) ，得证。

两个组合数公式

(n+mk)=∑i=0k(ni)(mk−i)

这个其实可以感性理解。
一间课室有 n 个人，另一间有 m 个人，你要选 k 个人出来。
其实就是枚举第一间可是选 i 个人然后组合数一下就好了。

∑i=0n(ni)=2n

一个无聊的证明

(a+b)n=∑i=0n(ni)aibn−i

令 a=b=1
那么

∑i=0n(ni)=2n