Leetcode 464.Can I Win?题解学习笔记

题目描述

两个玩家在1到max的数中选数并累加和，谁的一轮先到total谁赢，被选过的数不能二次使用。问：在2人都采用最优策略的情况下，给定max和total，计算先手玩家是否能赢。

思路

这道题自己没做出来，看了很多题解，有用DFS的，有用递归+map的，有用动归的，这里选一个我认为解的最漂亮的解法，也是我研究了好久才彻底搞明白的解法进行记录。

参考题解来源：https://blog.csdn.net/abc15766228491/article/details/83929072
abc15766228491的题解《leetcode 464. 我能赢吗》

开始我没想明白的一点是，如何表示到底当前是哪个玩家的一轮，但是后来恍然想到，这里并不需要区分到底现在计算的是哪个玩家，因为对于先手玩家，第一次选择就是他的，而他可以选择任何一个数，他是否能赢取决于2个条件：1.他选的数是否大于目标值；2.他选了一个数后玩家2是否会输（1，2任何一个成立都能赢）。这里就看出递归的影子了。而往往递归是不能一步一步想清楚的，否则就会被绕进去。（事实上，这个递归的函数既能计算玩家1也能计算玩家2。）

下面开始这个解法里最精妙的部分：
最近刚开始了解状压（状态压缩）DP，这道题里就能用上，也是很巧了。关于什么是状压，详细介绍参见这篇文章：https://www.cnblogs.com/Tony-Double-Sky/p/9283254.html （《状态压缩动态规划 状压DP》by Tony_Double_Sky）。简单的说，就是把二元状态（必须是二元才能用）的动态规划中的状态用一个二进制数表示，非常简便清楚的将动态描述出来，节省了大量时间空间开销。而状压通常和位运算连用，效果出奇。下面这段摘自上述介绍状压的博文：

为了更好的理解状压dp，首先介绍位运算相关的知识。
1.’&’符号，x&y，会将两个十进制数在二进制下进行与运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)&2(10)=2(10)。
2.’|’符号，x|y，会将两个十进制数在二进制下进行或运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)|2(10)=3(11)。
3.’^{’符号，x}y，会将两个十进制数在二进制下进行异或运算，然后返回其十进制下的值。例如3(11)^2(10)=1(01)。
4.’<<’符号，左移操作，x<<2，将x在二进制下的每一位向左移动两位，最右边用0填充，x<<2相当于让x乘以4。相应的，’>>’是右移操作，x>>1相当于给x/2，去掉x二进制下的最有一位。
这四种运算在状压dp中有着广泛的应用，常见的应用如下：
1.判断一个数字x二进制下第i位是不是等于1。
方法：if(((1<<(i−1))&x)>0)if(((1<<(i−1))&x)>0)
将1左移i-1位，相当于制造了一个只有第i位上是1，其他位上都是0的二进制数。然后与x做与运算，如果结果>0，说明x第i位上是1，反之则是0。
2.将一个数字x二进制下第i位更改成1。
方法：x=x|(1<<(i−1))x=x|(1<<(i−1))
证明方法与1类似，此处不再重复证明。
3.把一个数字二进制下最靠右的第一个1去掉。
方法：x=x&(x−1)x=x&(x−1)
感兴趣的读者可以自行证明。

本题中对于1到max的每个数字，都有两种状态：已选（1）或未选（0）。因此用一个max+1（为了让下标和数字保持一致，第0位不用，从第1位开始）位的二进制串visited即可表示当前局势（2人选数字的情况）。因此，递归函数的参数为2个变化量：目标值（初始为total）、当前局势（visited）。递归的具体内容是：在当前局势（visited）下，遍历1到max寻找是否有赢的可能（即上文所说的2个条件），只要有一种情况能赢就返回true（先手能赢），否则返回false。注意在遍历的过程中还要判断当前数字i是否被选过，这里就用上了位运算。在提到位运算的时候说过，判断一个数字x二进制下第i位是否等于1可以用(1< 最后一个关键点，由于我们用一个串表示2个人对数字的选用情况，所以并不能（也不必）区分哪个位上的数字是被谁选用了，所以要记录每一种局势（visited）的结果（赢还是输，还是没发生过）。因此用一个vector来存放各visited的结果：

1. vector存放元素的类型，起初我认为int就可以，但是提交运行后发现比参考题解中的慢了许多，也浪费了很多空间。（下图第一行是用int,第二行是用char）
   
2. vector的初始化，因为跳过第0位，所以是vector的初始化，因为跳过第0位，所以是vector< char > (1<
3. 递归函数首先要判断该局势是否已经计算过（赢：1，输：-1，未计算过：0），如玩家1选1，玩家2选2和玩家1选2，玩家2选1的visited都是0110，应当减少重复计算。
   最后，贴上该博主的代码膜拜一下，从他这里学到很多，感谢！

class Solution {
public:
    // 用一个vector记录每次的选择的结果，如果能赢则为1，不能赢则为-1，没有记录则为0，比如：
    // 第一个人选1，第二个人选2或者第一个人选2第二个人选1的前提下，
    // 二进制位为：0000 0110，则v_c[6]的值如果不为零，为1则返回true，为-1则返回false
    vector v_c;
    int M, T;

    bool canIWin(int MM, int TT) {
        // 这里面进行判断，是否可以得到答案，如果整个数组的和小于要求的目标数字，则返回false
        M = MM;
        T = TT;
        if ((1 + M) * M / 2 < T) return false;
        // 这里注意初始化，所有要遍历的数字为2^M个，因此下标要加1
        v_c = vector(1 << (M) + 1, 0);
        return canWin(T, 0);
    }

    bool canWin(int target, int visited) {
        // 如果visited这种模式已经有人选过了，那么返回结果即可
        // 如果没有人选过这种模式，那么在这种模式下把可以选择的数字都选一遍，逐个判断
        if (v_c[visited] != 0) return v_c[visited] == 1;
        for (int i = 1; i <= M; ++i) {
            // 用一个mask记录当前选择了第几个数字
            int mask = (1 << i);
            // 如果mask&visited的结果是0那么第i个数字（也就是i）没有选过
            // 赢的条件：如果选的这个数大于等于目标数字，或者对手在这种情况下是输的，那么，我在这情况下就是赢的
            // 要知道对手在这个情况下是不是输的，就递归canWin(target - i, visited | mask)得到答案即可
            if ((mask & visited) == 0 && (i >= target || !(canWin(target - i, visited | mask)))) {
                v_c[visited] = 1;
                return true;
            }
        }
        // 如果在visited这个模式（前提）下遍历了一圈可以选择的数字都无法赢，那么我就输了
        v_c[visited] = -1;
        return false;
    }

};