bellman-ford算法——最短路问题，判断是否存在负权回路或正权回路

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Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法，但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最短路径就可能是错的。

这时候，就需要使用其他的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼（Richard Bellman, 动态规划的提出者）和小莱斯特•福特（Lester Ford）发明。

适用条件&范围：

单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

差分约束系统;

Bellman-Ford算法的流程如下：
给定图G(V, E)（其中V、E分别为图G的顶点集与边集），源点s，数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度，初始化数组Distant[n]为, Distant[s]为0；

以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：
对于每一条边e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值；
若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

可知，Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：
d（v） > d (u) + w(u,v)
则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。 

测试代码如下：（下面为有向图的Bellman-Ford算法。。。。。）
PS：很简单的算法，没什么特别好说的。自己的代码

 #include
 using namespace std;
 #define maxn 999
 #define inf 0x3f3f3f3f
 typedef struct Edge{int form;int to;int w;}edge;
 edge ma[maxn];
 int dis[maxn];
 int k,node,v;
 int bellman_ford()
 {
     for(int i=1;i<=node;i++) //初始化，找正权回路是初始化为0
         dis[i]=inf; //dis代表着从源点到i的距离
     dis[v]=0;
     for(int i=1;i<=node-1;i++)   //历遍每一个点
     {
         for(int j=1;j<=k;j++) //历遍每条边
         {
             if(dis[ma[j].form]>dis[ma[j].to]+ma[j].w) //如果v-form的距离大于v-to+to-from的距离就更新v-form的距离
             {
                 dis[ma[j].form]=dis[ma[j].to]+ma[j].w;
             }
         }
     }
     int flag=1;
     for(int i=1;i<=k;i++)  //判断是否有负权回路,改变条件后也可以判断是否有正权回路
     {
         if(dis[ma[i].form]>dis[ma[i].to]+ma[i].w)  //意思就是在松弛过后还能在松弛就存在回路，大于号是负回路，小于号是正回路
         {
             flag=0;
             break;
         }
     }
     return flag;
 }
 int main()
 {
     scanf("%d %d %d",&node,&k,&v);
     for(int i=1;i<=k;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&ma[i].form,&ma[i].to,&ma[i].w);
     }
     if(bellman_ford())
     {
         for(int i=1;i<=node;i++)
         {
             printf("%d\n",dis[i]);
         }
     }
     else
         printf("have negative circle\n");
 }