数值分析中有效数字的定义理解及计算

一、有效数字的定义

要定义有效数字，我们需要首先给出下面几个定义，其实都是很简单能理解的东西，但是用数学公式表达一下就有点绕。

误差：

若$x^{\ast }$是准确值$x$的一个近似值，则称$e^{\ast }=x^{\ast }-x$为$x^{\ast }$的误差。

这个就是近似值减去实际值，而且误差肯定是针对近似值来说的，所以是称$e^{\ast }$为$x^{\ast }$的误差

误差限：

若$\left|e^{\ast }\right|\le {\epsilon }^{\ast }$，则称${\epsilon }^{\ast }$为$x^{\ast }$的误差限

上面说的误差和误差限都是绝对误差限，都是有量纲的，比如说100米的绳子，近似长度是99米，误差是1米。又比如3米的绳子，近似长度是2米，误差也是1米。误差相同，但是对于近似来说，显然前面一个例子近似程度更加好，所以又提出了相对误差的概念，其实就是用绝对误差再除以准确值。我们一般说的误差都是绝对误差，说相对误差时一定要用相对误差四个字，不然就混淆了。。。。
相对误差：

我们把近似值的误差$e^{\ast }$与准确值$x$的比值 $$\frac{e^{\ast }}{x}=\frac{x^{\ast }-x}{x}$$ 称为近似值$x^{\ast }$的相对误差，记作$e_r^{\ast }$

但是有个问题，实际计算时准确值你是不知道的(要不然也就不用求近似了)，所以通常就取其近似值进行计算:
$$e_r^{\ast }=\frac{e^{\ast }}{x^{\ast }}=\frac{x^{\ast }-x}{x^{\ast }}$$
但是条件是$e_r^{\ast }$较小。
相对误差限：

相对误差可正可负，它的绝对值的上界称为相对误差限，记作: $${\epsilon }_r^{\ast }=\frac{{\epsilon }^{\ast }}{\left|x^{\ast }\right|}$$

误差就定义到这里了，其实很简单，绝对误差就是近似值减准确值，误差限就是绝对误差的绝对值能达到的上限，就是最多能差多少。相对误差就是绝对误差除以了准确值，但准确值我们一般又不知道，所以直接就除以了估计的近似值。相对误差限就是绝对误差限除以了近似值的绝对值。

再说有效数字的定义。我们在小学就学过有效数字，到了学数值分析的时候，却被一个定义绕得你头晕晕的，但是，数学就是这样，为了达到一些准确性，往往用很复杂的公式来表示一个简单的意思。下面我们看一下有效数字的定义：

中学定义：

对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字

数值分析定义：

若近似值$x^{\ast }$的误差限是某一位上的半个单位，该位(包括该位)到$x^{\ast }$的第一位非零有效数字共有$n$位，则称$x^{\ast }$具有$n$位有效数字

二、有效数字定义的理解

这个有效数字其实就是估计了近似值的准确程度。

但是很多时候，你不知道准确值，所以你无法求出准确误差。但是常常可以得到一个误差限。即误差上限，看这个误差上限小于什么位数上的半个单位，再数近似值上从左到右第一位不为0的数到这一位的数字的个数。就求出有效数字了。如果出现第一个的情况，直接就为0了。

三、该如何计算

上面也说了如何计算，下面盗用几张题图