洛谷P3380 【模板】二逼平衡树(树套树)

题目描述

您需要写一种数据结构(可参考题目标题),来维护一个有序数列,其中需要提供以下操作:

  1. 查询k在区间内的排名

  2. 查询区间内排名为k的值

  3. 修改某一位值上的数值

  4. 查询k在区间内的前驱(前驱定义为严格小于x,且最大的数,若不存在输出-2147483647)

  5. 查询k在区间内的后继(后继定义为严格大于x,且最小的数,若不存在输出2147483647)

注意上面两条要求和tyvj或者bzoj不一样,请注意

输入输出格式

输入格式:

 

第一行两个数 n,m 表示长度为n的有序序列和m个操作

第二行有n个数,表示有序序列

下面有m行,opt表示操作标号

若opt=1 则为操作1,之后有三个数l,r,k 表示查询k在区间[l,r]的排名

若opt=2 则为操作2,之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内排名为k的数

若opt=3 则为操作3,之后有两个数pos,k 表示将pos位置的数修改为k

若opt=4 则为操作4,之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内k的前驱

若opt=5 则为操作5,之后有三个数l,r,k 表示查询区间[l,r]内k的后继

 

输出格式:

 

对于操作1,2,4,5各输出一行,表示查询结果

 

输入输出样例

输入样例#1: 复制

9 6
4 2 2 1 9 4 0 1 1
2 1 4 3
3 4 10
2 1 4 3
1 2 5 9
4 3 9 5
5 2 8 5

输出样例#1: 复制

2
4
3
4
9

说明

时空限制:2s,128M

n,m \leq 5\cdot {10}^4n,m≤5⋅104 保证有序序列所有值在任何时刻满足 [0, {10} ^8][0,108]

题目来源:bzoj3196 / Tyvj1730 二逼平衡树,在此鸣谢

此数据为洛谷原创。(特别提醒:此数据不保证操作4、5一定存在,故请务必考虑不存在的情况

解题思路

线段树套平衡树,用线段树维护区间,每个节点都建一颗平衡树,用来维护此节点表示的区间。操作处理方法如下

1.求出各子区间内比k小的数的个数,相加,然后+1,即为k在区间内的排名。

2.可以换个思路,求一个值的排名是否为k,然后因为序列中的值在0~10^8之间,所以可以用二分答案求解。

3.将包含pos的区间中的原值删去,加入x,记得修改原数组。

4.为了方便查找前驱和后继,博主在建树的时候插入了2147483647-2147483647(所以前面求排名的时候要减掉),每个区间的子区间中的前驱最大值即为答案。

5.同4。

代码如下(套的平衡树是LeafyTree):

#include 
#define INF 2147483647
#define ratio 4
using namespace std;
typedef long long ll;

inline int read(){
    int res = 0, w = 0; char ch = 0;
    while(!isdigit(ch)){
        w |= ch == '-', ch = getchar();
    }
    while(isdigit(ch)){
        res = (res << 3) + (res << 1) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return w ? -res : res;
}

const int N = 100005;

int siz[N << 6], data[N << 6], lch[N << 6], rch[N << 6]; 
int cnt;

void merge(int l, int r)
{
    ++cnt;
    siz[cnt] = siz[l] + siz[r];
    data[cnt] = data[r];        
    lch[cnt] = l;
    rch[cnt] = r;
}

void rotate(int k, bool flg)
{
    if(flg){
        merge(rch[lch[k]], rch[k]);
        lch[k] = lch[lch[k]];
        rch[k] = cnt;
    }
    else {
        merge(lch[k], lch[rch[k]]);
        lch[k] = cnt;
        rch[k] = rch[rch[k]];
    }
}

void maintain(int k)
{
    if(siz[lch[k]] > siz[rch[k]] * ratio)
        rotate(k, 1);
    else if(siz[rch[k]] > siz[lch[k]] * ratio)
        rotate(k, 0);
}

int newnode(int v)
{
    ++cnt;
    siz[cnt] = 1;
    data[cnt] = v;
    return cnt;
}

void pushup(int k)
{
    if(siz[lch[k]] == 0)
        return;
    siz[k] = siz[lch[k]] + siz[rch[k]];
    data[k] = data[rch[k]];
}

void insert(int k, int x)
{
    if(siz[k] == 1){
        lch[k] = newnode(min(data[k], x));
        rch[k] = newnode(max(data[k], x));
        pushup(k);
        return;
    }
    insert(x <= data[lch[k]] ? lch[k] : rch[k], x);
    maintain(k);
    pushup(k);
}

void cpynode(int a, int b)
{
    siz[a] = siz[b];
    data[a] = data[b];
    lch[a] = lch[b];
    rch[a] = rch[b];
}

void del(int k, int fa, int x)
{
    if(siz[k] == 1){
        cpynode(fa, k == lch[fa] ? rch[fa] : lch[fa]);
        return;
    }
    del(x <= data[lch[k]] ? lch[k] : rch[k], k, x);
    maintain(k);
    pushup(k);
}

int rnk(int k, int x)
{
    if(siz[k] == 1)
        return 1;  
    if(x <= data[lch[k]])
        return rnk(lch[k], x);
    else 
        return rnk(rch[k], x) + siz[lch[k]];
}

int atrank(int k, int x)
{
    if(siz[k] == x)
        return data[k];
    if(x > siz[lch[k]])
        return atrank(rch[k], x - siz[lch[k]]);
    else
        return atrank(lch[k], x);
}

int lower(int k, int x)
{
    return atrank(k, rnk(k, x) - 1);
}

int upper(int k, int x)
{
    return atrank(k, rnk(k, x + 1));
}

int build()
{
    int root = newnode(INF);
    insert(root, -INF);
    return root;
}

struct T{
    int l, r;
    int root;
}tree[N<<1];
int a[N];
void build(int k, int l, int r)
{
    tree[k].l = l;
    tree[k].r = r;
    tree[k].root = build();
    for(int i = l; i <= r; i ++)
        insert(tree[k].root, a[i]);
    if(l == r)
        return;
    int mid = (l + r) / 2;
    build(2*k, l, mid);
    build(2*k+1, mid + 1, r);
}

int query_rnk(int k, int l, int r, int x)
{
    if(tree[k].l >= l && tree[k].r <= r){
        return rnk(tree[k].root, x) - 2;
    }
    int mid = (tree[k].l + tree[k].r) / 2;
    int ans = 0;
    if(l <= mid)
        ans += query_rnk(2*k, l, r, x);
    if(r > mid)
        ans += query_rnk(2*k+1, l, r, x);
    return ans;
}

int query_atrank(int l, int r, int k)
{
    int ll, rr;
    ll = 0, rr = 100000000;
    int mid = (ll + rr) / 2;
    while(ll < rr){
        int q = query_rnk(1, l, r, mid) + 1;
        if(q > k)
            rr = mid - 1;
        else   //存在重复数字
            ll = mid;
        mid = (ll + rr + 1) / 2;
    }
    return mid;
}

void change(int k, int pos, int x)
{
    del(tree[k].root, 0, a[pos]);
    insert(tree[k].root, x);
    if(tree[k].l == tree[k].r){
        a[pos] = x;  //修改原数组
        return;
    }    
    int mid = (tree[k].l + tree[k].r) / 2;
    if(pos <= mid)
        change(2*k, pos, x);
    else
        change(2*k+1, pos, x);
}

int lower(int k, int l, int r, int x)
{
    if(tree[k].l >= l && tree[k].r <= r)
        return lower(tree[k].root, x);
    int mid = (tree[k].l + tree[k].r) / 2;
    int ans = -INF;
    if(l <= mid)
        ans = max(lower(2*k, l, r, x), ans);
    if(r > mid)
        ans = max(lower(2*k+1, l, r, x), ans);
    return ans;
}

int upper(int k, int l, int r, int x)
{
    if(tree[k].l >= l && tree[k].r <= r)
        return upper(tree[k].root, x);
    int mid = (tree[k].l + tree[k].r) / 2;
    int ans = INF;
    if(l <= mid)
        ans = min(ans, upper(2*k, l, r, x));
    if(r > mid)
        ans = min(ans, upper(2*k+1, l, r, x));
    return ans;
}

int main()
{   
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%d", &a[i]);
    build(1, 1, n);
    for(int i = 1; i <= m; i ++){
        int opt;
        scanf("%d", &opt);
        int l, r, k, pos;
        if(opt == 3)
            scanf("%d%d", &pos, &k);
        else
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &k);
        if(opt == 1)
            printf("%d\n", query_rnk(1, l, r, k) + 1);
        else if(opt == 2)
            printf("%d\n", query_atrank(l, r, k));
        else if(opt == 3)
            change(1, pos, k);
        else if(opt == 4)
            printf("%d\n", lower(1, l, r, k));
        else 
             printf("%d\n", upper(1, l, r, k));
    }
    return 0;
}

 

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