趣题:求两圆柱相交部分的体积

昨天去图书馆看趣味数学大师马丁加德纳的小册子《意料之外的绞刑》,看到了这个趣题:求两圆柱相交部分的体积(两圆柱半径都为1)(正交)。要求是不用微积分,只用高中生就能看懂的简单数学。如果你难以想象那部分到底是个什么形状,下面这幅图可以帮帮你。

趣题:求两圆柱相交部分的体积_第1张图片

答案:

用竖直的平面去切这个相交部分,例如用平面y=-0.5,不难想象无论取的是y等于几的竖直平面,切得的部分都是正方形。如下图:
趣题:求两圆柱相交部分的体积_第2张图片

然后我们再想像有一个半径为1的球内切于两圆柱相交部分,用同样的竖直平面去截这个球,很明显截得的部分是圆,如下图:
趣题:求两圆柱相交部分的体积_第3张图片

想像一下:这个球是内切于两圆柱相交部分的,因此截得的这个圆恰好就内接于刚才截得的正方形!对于每一个竖直平面来说都是如此。每一个正方形的面积是其内接于圆的4/π倍,而把面积一层一层累加起来就是体积,所以两圆柱相交部分的体积就是其内接球体积的4/π倍。球的体积是4π/3,因此两圆柱相交部分的体积就是4π/3×4/π=16/3!

这个方法貌似和祖暅原理很像,不过提出这个方法的人可比祖暅年代要早得多:是阿基米德!不得不佩服古希腊人的智慧!

你可能感兴趣的:(趣题:求两圆柱相交部分的体积)