【斜率优化】仓库建设（luogu 2120）

仓库建设

luogu 2120

题目大意

有一个斜坡，上面有n个工厂（山顶是1，山脚是$n$，工厂都是漏填），上面有$p_i$个货物，和工厂1的距离为$x_1$
现在有一场大雨，你可以在某些工厂处建立仓库（费用是$c_i$），没有建立仓库的工厂要把货物运到更低的仓库（及编号越大的仓库），运费是货物数$\ast$距离
现在问你全部货物运到仓库中最少需要多少钱

输入样例

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

输出样例

32

样例说明

在工厂 1 和工厂 3 建立仓库，建立费用为 $10+10=20$ ，运输费用为 $(9-5)\times 3=12$，总费用 32。

数据范围

对于 $20\%$ 的数据，保证 $n\le 500$。
对于 $40\%$ 的数据，保证 $n\le 10^4$ 。
对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 10^6$ ，$0\le x_i,p_i,c_i<2^{31}$ 。
对于任意的 $1\le i<n$，保证 $x_i<x_{i+1}。$
设答案为 $ans$，保证 $ans+{\sum }_{i=1}^n{p}_i{x}_i<2^{63}$ 。

解题思路

我们设$f_i$为在$i$处建仓库，前$i$个工厂的货物全部运到仓库的最小费用（这里把$p$改为$s$，把$x$改为$v$）
我们就可以得出转移方程
$$\begin{array}{rl}{f}_i& =\min \{f_j+c_i+\sum _{k=j+1}^{i-1}(v_i-v_k)s_k\}\\ & =\min \{f_j+c_i+\sum _{k=j+1}^i(v_i-v_k)s_k\}\\ & =\min \{f_j+c_i+\sum _{k=j+1}^i{v}_i{s}_k-\sum _{k=j+1}^i{v}_k{s}_k\}\\ & =\min \{f_j+c_i+(sum{s}_i-sum{s}_j)v_i-(v{s}_i-v{s}_j)\}\end{array}$$
注：
第二行加了$i$这一项，但因为$v_i-v_i=0$所以结果不变
第四行$v{s}_i={\sum }_{j=1}^i{v}_i{s}_i$
若现在有两个决策点$a,b$满足$a>b,a$优于$b$
则：
$$f_a+c_i+(sum{s}_i-sum{s}_a)v_i-(v{s}_i-v{s}_a)<f_b+c_i+(sum{s}_i-sum{s}_b)v_i-(v{s}_i-v{s}_b)$$
$$f_a+c_i+sum{s}_i{v}_i-sum{s}_a{v}_i-v{s}_i+v{s}_a<f_b+c_i+sum{s}_i{v}_i-sum{s}_b{v}_i-v{s}_i+v{s}_b$$
$$f_a-sum{s}_a{v}_i+v{s}_a<f_b-sum{s}_b{v}_i+v{s}_b$$
$$(f_a+v{s}_a)-(f_b+v{s}_b)<sum{s}_a{v}_i-sum{s}_b{v}_i$$
$$(f_a+v{s}_a)-(f_b+v{s}_b)<sum{s}_a{v}_i-sum{s}_b{v}_i$$
$$((f_a+v{s}_a)-(f_b+v{s}_b))/(sum{s}_a-sum{s}_b)<v_i$$
我们设
$x_i=f_i+v{s}_a$
$y_i=sum{s}_i$
则
$(x_a-x_b)/(y_a-y_b)<v_i$
然后按照斜率优化模板套即可

代码

#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
ll n, l, r, v[1000050], s[1000050], c[1000050], d[1000050], x[1000050], f[1000050], vs[1000050];
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d%d%d", &v[i], &s[i], &c[i]);
		vs[i] = vs[i - 1] + v[i] * s[i];
		s[i] += s[i - 1];//s没用，就直接弄成前缀和
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		while(r > l && (x[d[l + 1]] - x[d[l]]) < v[i] * (s[d[l + 1]] - s[d[l]])) l++;//模板
		f[i] = f[d[l]] + c[i] + (s[i] - s[d[l]]) * v[i] - (vs[i] - vs[d[l]]);
		x[i] = f[i] + vs[i];
		while(r > l && (x[i] - x[d[r]])*(s[d[r]] - s[d[r-1]]) < (x[d[r]] - x[d[r-1]])*(s[i] - s[d[r]])) r--;
		d[++r] = i;
	}
	printf("%d", f[n]);
	return 0;
}