【HDU】5728 PowMod

PowMod

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题目大意

    先让你计算k：

k=∑i=1mϕ(i⋅n)  mod  1000000007

    再让你算k的无限个k次方对p取mod的值….

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题解

    这个主要是算k，后面那个比较难看的取模可以百度指数循环节。
    关于计算k，：

我们设sum(n,m)=∑i=1mϕ(i⋅n)

    考虑n的一个质因子p，我们利用欧拉函数的性质，分情况讨论，在这里有2种情况：

• p不是i的因子（即 imodp 不为零）
• p是i的因子（即 imodp 为零）

    对于第一种情况，我们根据欧拉函数的积性，有：

∑imodp !=0mϕ(i⋅npp)=ϕ(p)⋅∑imodp !=0ϕ(inp)(1)

    对于第二种情况，我们先将i改写为 k⋅p ，再可以根据欧拉函数的通式，有：

∑kpmϕ(kp⋅n)=p⋅∑kpmϕ(kn)     (k=1,2,3...)(2)

    又因为 p=ϕ(p)+1 ，我们将2式中的p代换成 ϕ(p)+1 ，再与1式相加，我们可以得到：

sum(n,m)=ϕ(p)[∑imodp !=0ϕ(inp)+∑kpmϕ(kn)]+∑kpmϕ(kn)

    注意到括号里面的两项是可以合并的，因为后面的一项刚好可以填补前面一项的空缺：

∑kpmϕ(kn)=∑i=1mpϕ(inp)

    所以得到最终的式子：

sum(n,m)=ϕ(p)∑i=1mϕ(inp)+∑i=1mpϕ(kn)

    即：

sum(n,m)=ϕ(p)⋅sum(np,m)+sum(n,mp)

    搜索求解即可。

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代码

#include 
#include 
#include 
#define mod 1000000007
#define maxn 10000005
#define LL long long

using namespace std;

int prime[maxn],cnt,phi[maxn],fac[50],nfac;
LL pre[maxn],n,m,p;
bool vis[maxn];

void setup(int high)
{
    cnt=0;
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=high;i++)
    {
        if (!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for (int j=0;j1;
            if (i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=high;i++) pre[i]=(pre[i-1]+phi[i])%mod;
}

LL pow_mod(LL a,LL b,LL c)
{
    LL ans=1;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=(ans*a)%c;
        b>>=1;
        a=(a*a)%c;
    }
    if (ans==0) ans+=c;
    return ans;
}

LL dfs(LL n,LL m,int depth)
{
    if (m==0) return 0;
    if (n==1) return pre[m];
    //if (m==1) return phi[n];
    return (dfs(n/fac[depth],m,depth+1)*phi[fac[depth]]%mod+dfs(n,m/fac[depth],depth))%mod;
}

void deal(int n)
{
    memset(fac,0,sizeof(fac));
    nfac=0;
    for(int i=0;iif(!vis[n])
        {
            fac[nfac++]=n;
            break;
        }
        if(n%prime[i]==0)
        {
            fac[nfac++]=prime[i];
            n/=prime[i];
        }
    }
}

LL ans(LL k,LL t)
{
    if (t==1) return 1;
    LL c=ans(k,phi[t]);
    return pow_mod(k,c,t);
}

int main()
{
    setup(maxn-5);
    while (scanf("%I64d%I64d%I64d",&n,&m,&p)!=EOF)
    {
        deal(n);
        LL k=dfs(n,m,0);
        printf("%I64d\n",ans(k,p));
    }
    return 0;
}