【JAVA算法】简单-二进制求和

算法虽难，循序渐进，督促自己，总有进步；
本博文仅为了督促自己学习算法，如有遗漏或错误之处，请不吝指教；

题目

给定两个二进制字符串，返回他们的和（用二进制表示）。
输入为非空字符串且只包含数字 1 和 0。

示例 1:

输入: a = "11", b = "1"
输出: "100"

示例 2:

输入: a = "1010", b = "1011"
输出: "10101"

解题方案：

1.使用JAVA API简单方法

算法思路

• 通过API Integer.parseInt(a, 2) 将 a 和 b 转换为十进制整数
• 将a和b得到的十进制整数相加求和
• 通过Integer.toBinaryString()方法将十进制整数转换为二进制字符串

JAVA代码

class Solution {
  public String addBinary(String a, String b) {
    return Integer.toBinaryString(Integer.parseInt(a, 2) + Integer.parseInt(b, 2));
  }
}

复杂度

算法的时间复杂度为 O(N+M)

存在问题

但是该方法存在问题：

• 33 位 1，不能转换为 Integer
• 65 位 1，不能转换为 Long
• 500000001 位 1，不能转换为 BigInteger

解决办法

为了适用于长度较大的字符串计算，将介绍下面两只哦那个方法：

• 逐比特位的计算方法
• 位操作计算方法

2.逐位计算

算法思路

• 将二进制字符串a和b，从最低位（末尾）向最高位逐位相加
• 定义初始进位carry=0，如果数a 的最低位是 1，则进位carry加1，同理如果b最低位是 1，则进位carry加1
• 判断carry是否=2，如果是StringBuilder追加0，否则追加1
• 最后需要额外判断进位carry是否=1，如果是StringBuilder追加1
• 最后反转字符串得到正确的结果

JAVA代码

class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
        int m = a.length(), n = b.length();
        if(m < n) return addBinary(b,a);
        int carry = 0,j = n-1;
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for(int i=m-1;i>-1;i--){
            if(a.charAt(i) == '1') ++carry;
            if(j > -1 && b.charAt(j--) == '1') ++carry;
            sb.append(carry % 2 == 1 ? "1" : "0");
            carry /= 2;
        }
        if(carry > 0) sb.append("1");
        sb.reverse();
        return sb.toString();
    }
}

复杂度

• 时间复杂度：O(max(N,M))，其中 N 和 M 是输入字符串 a 和 b 的长度。
• 空间复杂度：O(max(N,M))，存储求和结果。

存在问题

如果输入的数字很大，该方法的效率非常低

解决办法

• 使用位操作提高计算速度

2.位操作

算法思路

1.XOR 操作得到两个数字无进位的相加结果
2.AND操作后左移1位操作得到进位carry二进制结果

现在问题被简化为：

• 首先计算两个数字的无进位相加结果和进位
• 然后计算无进位相加结果与进位之和。同理求和问题又可以转换成上一步，直到进位为 0 结束

JAVA代码

import java.math.BigInteger;
class Solution {
    public String addBinary(String a, String b) {
        BigInteger ab = new BigInteger(a,2);
        BigInteger bb = new BigInteger(b,2);
        BigInteger zero = new BigInteger("0",2);
        BigInteger addWithOutCarry,carry;
        while(bb.compareTo(zero) != 0){
            addWithOutCarry = ab.xor(bb);
            carry = ab.and(bb).shiftLeft(1);
            ab = addWithOutCarry;
            bb = carry;
        }
        return ab.toString(2);
    }
}

复杂度

• 时间复杂度：O(N+M)，其中 N 和 M 是输入字符串 aa 和 bb 的长度。
• 空间复杂度：O(max(N,M))，存储计算结果。

性能分析

• 如果输入数字大于 2的100次方，必须使用效率较低的 BigInteger
• 在 Java 中，应当首先考虑使用 Integer 或者 Long，而不是 BigInteger

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