数论从这里开始——一个数的因数

数论又多又难，该从哪开始学呢？不如先思考一下下面这个问题：

　　对于一个自然数n，它的因数是什么？

 

一、因数的筛法

 

1.最简单的暴力

　　相信只要你有一点数学和编程基础的话，都会想到下面这个最简单暴力的方法：

1 int find_factor(int x)
2 {
3     int i,cnt=0;
4     for(i=1;i<=x;i++)
5         if(x%i==0) cnt++;
6     return cnt;
7 }

对，只要从1到n遍历一遍，看看是不是n的因数就解决了。但是这样的话有一个缺点，该算法的时间复杂度为O(n)，数据稍微一大，就超时了。

 

2.修改后的筛法

　　那么我们能不能稍微改进一下这个算法呢？答案是可以的，我们都知道一个数的因数一定是成对出现的，那么对于每一组里小的那个因数，它的大小不会超过 ,利用这一点我们可以将我们的算法做如下改进：

 1 int find_factor(int x)
 2 {
 3     int i,cnt=0;
 4     for(i=1;i*i<=x;i++)
 5         if(x%i==0)
 6         {
 7             if(i*i==x) cnt++;    //当x=i*i时，计数器只需加一次
 8             else cnt+=2;
 9         }
10     return cnt;
11 }

这样一来，我们的时间复杂度就变为了O()，可以解决更大范围的数据了。上面的筛法也是在大多数题目中适用的。

 

3.加强版筛法

　　但是还是有更加善良的出题人，想要继续考察我们，这就需要我们学习专业的数学知识了。我们先来看下面两个概念：

·分解质因数：把n表示为质数相乘的形式，如30=2×3×5。
我们可以用下面的代码实现分解质因数（时间复杂度O()）：

 1 #include 
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 void resolved()
 6 {
 7     int i,n,temp;
 8     scanf("%d",&n);
 9     printf("%d=",n);
10     temp=n;
11     if(n<2) return ;    //小于2的数不合法，若n为质数则输出它本身
12     for(i=2;i*i<=temp;i++)    //根号n复杂度
13         while(temp%i==0)
14         {
15             temp=temp/i;
16             printf("%d",i);
17             if(temp!=1) printf("*");
18         }
19     if(temp!=1) printf("%d",temp);    //当n为质数
20     return ;
21 }
22 
23 int main()
24 {
25     resolved();
26     return 0;
27 }

分解质因数

（还有一个时间复杂度为O()的算法，日后再补）

既然这些因数都是质数，我们可以把一个数n的分解质因数表示为：

　　

其中，p₁、p₂、p₃…p_k是由小到大的质数，如：36=2×2×3×3=2²×3²。

 

·约数个数定理：对于一个大于1正整数n可以分解质因数：

　　
则n的正约数的个数就是：

　　

其中a₁、a₂、a₃…a_k是p₁、p₂、p₃…p_k的指数。

感觉不太好理解？我们来看下面几个实例：

(1)10=2×5=2¹×5¹

10的因子：1(2⁰×5⁰),2(2¹×5⁰),5(2⁰×5¹),10(2¹×5¹)，

因子的个数=4=(1+1)×(1+1)；

 

(2)36=2×2×3×3=2²×3²

36的因子：1(2⁰×3⁰),2(2¹×3⁰),4(2²×3⁰),3(2⁰×3¹),6(2¹×3¹),12(2²×3¹),9(2⁰×3²),18(2¹×3²),36(2²×3²)，

因子的个数=9=(2+1)×(2+1)；

 

看完这几个例子，不知你感觉如何，接着我们用代码来实现这个过程：

 1 int find_factor(int x)
 2 {
 3     int cnt=1,p=2;    //p代表素数
 4         while(x!=1)
 5         {
 6             int t=1;   //t最终代表(a[i]+1)
 7             while(x%p==0)
 8             {
 9                 x=x/p;
10                 t++;
11             }
12             p++;
13             cnt*=t;
14         }
15     return cnt;
16 }

这个方法不光可用用来求一个数的因数的个数，还可以用来解与因数个数相关的问题。

二、约数个数定理的应用

　　我们来看下面几个问题：

 

1. 求1到n里面约数最多的数的约数个数(n<=10¹⁸)
　　这个题注意数据！！！一看到这个数据我们就知道暴力是不可能实现的，那么又如何使用上面的方法呢？如果用上面的方法进行枚举也是不可取的。
那么我们来简单分析下这个问题：
·我们知道每一个数都可以用质因子的积表示，而约数的个数只与指数有关！

·我们知道p_n>...>p₃>p₂>p₁，那么假设我们存在某一个a_k>a₁ 那么我们交换p_k与p₁的指数，显然约数个数不变，但是数变小了！

　　如：24=2³×3¹和54=2¹×3³。

·也就是说对于任何n,m如果p_n>p_m那么a_nm 要好一些。但是不是最优的，不确定，不过这已经为我们淘汰了许多不必要的情况了。 这样使用dfs与之结合，枚举每一个质因子的质数，保证其指数递减， 然后我们就可以写出代码了：

 

 1 #include 
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int prime[25]={1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89};    //存一下质数
 6 long long n,ans;
 7 
 8 //pos代表第几个质数，num代表目前因子的个数，multi代表目前的数，len代表循环的次数
 9 void get_num_dfs(int pos,long long num,long long multi,int len)
10 {
11     int i;
12     if(multi>n) return ;
13     if(multi<=n) ans=max(ans,num);
14     for(i=1;i<=len;i++)
15     {
16         long long temp=pow(prime[pos],i);
17         if(multi>n/temp) break;    //用除法防止爆long long
18         get_num_dfs(pos+1,num*(i+1),multi*temp,i);      //进行下一个状态
19     }
20     return ;
21 }
22 
23 int main()
24 {
25     int t;
26     scanf("%d",&t);
27     while(t--)
28     {
29         ans=0;
30         scanf("%lld",&n);
31         get_num_dfs(1,1,1,64);
32         printf("%lld\n",ans);
33     }
34     return 0;
35 }

 

Author : Houge　　Date : 2019.5.27

Update log : 

2019.5.30：修正了一处错误。

 

 

 

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