第 8 章 查找算法

第 8 章 查找算法

1、查找算法介绍

• 顺序(线性)查找
• 二分查找/折半查找
• 插值查找
• 斐波那契查找

2、线性查找

• 编写线性查找算法代码

public class SeqSearch {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5 };// 没有顺序的数组
		int index = seqSearch(arr, -11);
		if (index == -1) {
			System.out.println("没有找到到");
		} else {
			System.out.println("找到，下标为=" + index);
		}
	}

	/**
	 * 这里我们实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回
	 * 
	 * @param arr
	 * @param value
	 * @return
	 */
	public static int seqSearch(int[] arr, int value) {
		// 线性查找是逐一比对，发现有相同值，就返回下标
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			if (arr[i] == value) {
				return i;
			}
		}
		return -1;
	}

}

• 程序运行结果

找到，下标为=4

3、二分查找

3.1、二分查找思路

• 二分查找算法的前提：数组必须是有序数组
• 二分查找算法思路分析（递归版）：
  • 定义两个辅助指针：left、right ，待查找的元素在 arr[left]~arr[right] 之间
  • left 初始值为 0 ，right 初始值为 arr.length - 1
  • 将数组分成两半：int mid = (left + right) / 2; ，取数组中间值与目标值 findVal 比较
    • 如果 mid > findVal ，说明待查找的值在数组左半部分
    • 如果 mid < findVal ，说明待查找的值在数组右半部分
    • 如果 mid == findVal ，查找到目标值，返回即可
  • 何时终止递归？分为两种情况：
    • 找到目标值，直接返回目标值 findVal ，结束递归即可
    • 未找到目标值：left > right，这样想：如果递归至数组中只有一个数时（left == right），还没有找到目标值，继续执行下一次递归时， left 指针和 right 指针总有一个会再走一步，这时 left 和 right 便会错开，此时 left > right ，返回 -1 并结束递归表示没有找到目标值

3.2、代码实现

3.2.1、二分查找（单个值）

• 编写二分查找算法：查找到目标值就返回

//注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
public class BinarySearch {

	public static void main(String[] args) {
        
		int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234 };
		int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
		System.out.println("resIndex=" + resIndex);

	}

	// 二分查找算法
	/**
	 * 
	 * @param arr     数组
	 * @param left    左边的索引
	 * @param right   右边的索引
	 * @param findVal 要查找的值
	 * @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回 -1
	 */
	public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {

		// 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
		if (left > right) {
			return -1;
		}
		int mid = (left + right) / 2;
		int midVal = arr[mid];

		if (findVal > midVal) { // 向 右递归
			return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
		} else if (findVal < midVal) { // 向左递归
			return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
		} else {

			return mid;
		}

	}
    
}

• 程序运行结果

resIndex=4

3.2.2、二分查找（所有值）

• 编写二分查找算法：查找到所有目标值，在找到目标值之后，分别往左、往右进行扩散搜索

//注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
public class BinarySearch {

	public static void main(String[] args) {
		
		int arr[] = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1000, 1234 };
		List<Integer> resIndexList = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
		System.out.println("resIndexList=" + resIndexList);
		
	}


	// 完成一个课后思考题:
	/*
	 * 课后思考题： {1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234} 当一个有序数组中， 有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的
	 * 1000
	 * 
	 * 思路分析 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
	 * 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList 4. 将Arraylist返回
	 */

	public static List<Integer> binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
		
		// 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
		if (left > right) {
			return new ArrayList<Integer>();
		}
		int mid = (left + right) / 2;
		int midVal = arr[mid];

		if (findVal > midVal) { // 向 右递归
			return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
		} else if (findVal < midVal) { // 向左递归
			return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
		} else {
			// 思路分析
			// 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
			// 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
			// 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
			// 4. 将Arraylist返回

			List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();
			// 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
			int temp = mid - 1;
			while (true) {
				if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {// 退出
					break;
				}
				// 否则，就temp 放入到 resIndexlist
				resIndexlist.add(temp);
				temp -= 1; // temp左移
			}
			resIndexlist.add(mid); //

			// 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
			temp = mid + 1;
			while (true) {
				if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {// 退出
					break;
				}
				// 否则，就temp 放入到 resIndexlist
				resIndexlist.add(temp);
				temp += 1; // temp右移
			}

			return resIndexlist;
		}

	}
}

• 程序运行结果

resIndexList=[4, 5, 6]

4、插值查找

4.1、插值查找基本介绍

• 插值查找算法类似于二分查找， 不同的是插值查找每次从自适应 mid 处开始查找。

4.2、插值查找图解

• 将折半查找中的求 mid 索引的公式 , low 表示左边索引 left ，high 表示右边索引 right ，key 就是前面我们讲的 findVal

• 图中公式：int mid = low + (high - low) * (key - arr[low]) / (arr[high] - arr[low]) ;

  对应前面的代码公式：

  int mid = left + (right – left) * (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left])

• 大致思路和二分查找一样，有如下不同：

  • 寻找 mid 公式不同：

    int mid = left + (right – left) * (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left]);

  • 由于公式中出现 findVal ，所以 findVal 的值不能过大或者过小，否则会引起 mid 过大或过小，引起数组越界问题，

    • 添加判断：findVal < arr[left] 和 findVal > arr[right]
    • why？findVal = arr[left] 时，mid = left；findVal = arr[right] 时，mid = right；

4.3、代码实现

• 编写插值查找算法

public class InsertValueSearch {

	public static void main(String[] args) {
		
		int [] arr = new int[100];
		for(int i = 0; i < 100; i++) {
			arr[i] = i + 1;
		}		
		int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1);
		System.out.println("index = " + index);

	}

	//编写插值查找算法
	//说明：插值查找算法，也要求数组是有序的
	/**
	 * 
	 * @param arr 数组
	 * @param left 左边索引
	 * @param right 右边索引
	 * @param findVal 查找值
	 * @return 如果找到，就返回对应的下标，如果没有找到，返回-1
	 */
	public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) { 

		System.out.println("插值查找次数~~");
		
		//注意：findVal < arr[left]  和  findVal > arr[right] 必须需要，否则我们得到的 mid 可能越界
		// findVal < arr[left] ：说明待查找的值比数组中最小的元素都小
         // findVal > arr[right] ：说明待查找的值比数组中最大的元素都大
         if (left > right || findVal < arr[left] || findVal > arr[right]) {
			return -1;
		}

		// 求出mid, 自适应，额，这不就是一次函数吗
         // findVal = arr[left] 时，mid = left
         // findVal = arr[right] 时，mid = right
		int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
		int midVal = arr[mid];
		if (findVal > midVal) { // 说明应该向右边递归
			return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);
		} else if (findVal < midVal) { // 说明向左递归查找
			return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);
		} else {
			return mid;
		}

	}
}

• 程序运行结果

插值查找次数~~
index = 0

4.4、总结

• 对于数据量较大，关键字分布比较均匀（最好是线性分布）的查找表来说，采用插值查找，速度较快
• 关键字分布不均匀的情况下， 该方法不一定比折半查找要好

5、斐波那契查找

5.1、斐波那契数列

• 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分， 使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。 取其前三位数字的近似值是 0.618。 由于按此比例设计的造型十分美丽， 因此称为黄金分割， 也称为中外比。 这是一个神奇的数字， 会带来意想不到的效果。
• 斐波那契数列 { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数的比例， 无限接近 黄金分割值 0.618

5.2、斐波那契查找介绍

• 那为什么一定要等分呐？能不能进行“黄金分割”？也就是 mid = left+0.618(right-left) ，当然mid 要取整数。如果这样查找，时间复杂性是多少？也许你还可以编程做个试验，比较一下二分法和“黄金分割”法的执行效率。

• 斐波那契查找算法又称为黄金分割法查找算法，斐波那契查找原理与前两种相似， 仅仅改变了中间结点（mid） 的位置，mid 不再是中间或由插值计算得到，而是位于黄金分割点附近， 即 mid = low + F(k-1) - 1

• 对 F(k)-1 的理解

  • 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质， 可以得到

  F[k]-1） =（F[k-1]-1） +（F[k-2]-1） + 1 
  

  • 该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]-1， 则可以将该表分成长度为 F[k-1]-1 和 F[k-2]-1 的两段 ，即如图所示。 从而中间位置为 mid=low+F(k-1)-1 ，类似的， 每一子段也可以用相同的方式分割
  • 但顺序表长度 n 不一定刚好等于 F[k]-1， 所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至 F[k]-1。 这里的 k 值只要能使得 F[k]-1 恰好大于或等于 n 即可
  • 为什么数组总长度是 F(k) - 1 ，而不是 F(k) ？因为凑成 F(k-1) 才能找出中间值，如果数组长度为 F(k) ，而 F(k) = F(k-1) + F(k-2) ，咋个找中间值嘞？
  • 为什么数组左边的长度是 F(k-1) - 1 ，数组右边的长度是 F(k-2) - 1 ？就拿个斐波那契数列来说：{ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } ，54 = 33 + 20 + 1 ，左边是不是 F(k-1) - 1 ，右边是不是 F(k-2) - 1 ，也恰好空出了一个中间值~~~

5.3、斐波那契查找思路

• 先根据原数组大小，计算斐波那契数列的得 k 值
• 数组扩容条件是：增大 k 值（索引从 0 开始），使得数组长度刚好大于或者等于斐波那契数列中的 F[k]-1 ，我们定义临时数组 temp ，temp 后面为 0 的元素都按照数组最大元素值填充
• 何时终止斐波那契查找？
  • 找到目标值：直接返回目标值索引
  • 没有找到目标值：low 指针和 high 指针相等或者擦肩而过，即 low >= high
• 为什么 low == high 时需要单独拎出来？
  • low == high 时说明此时数组中只剩下一个元素（a[low] 或者 a[high]）没有与目标值比较，并且此时 k 有可能等于 0 ，无法执行 mid = low + f[k - 1] - 1; 操作（k - 1 将导致数组越界）
  • 解决办法：我们在程序的最后，将 a[low] 或者 a[high] 单独与目标值 value 进行比较即可，我是通过 Debug 解决数组越界异常的，我并没有想明白，但是不把 low == high 单独拎出来，就会抛异常，哎，烧脑壳~~~改天再想
• mid 值怎么定？mid = low + f[k - 1] - 1 ：用黄金分割点确定 mid 的值
• 左右两条路，你怎么选？
  • key < temp[mid] ：目标值在黄金分割点的左边，看上面的图，应该是 k -= 1;
  • key > temp[mid] ：目标值在黄金分割点的右边，看上面的图，应该是 k -= 2;
  • key = temp[mid] ：找到目标值，因为数组经历过扩容，后面的值其实有些是多余的，mid 可能会越界（相对于原数组来说）
    • mid <= high ：证明 mid 索引在原数组中，返回 mid
    • mid > high 时，证明 mid 索引已经越界（相对于原数组来说），返回 high

5.4、代码实现

• 编写斐波那契查找算法：写法 1

public class FibonacciSearch {

	public static int maxSize = 20;

	public static void main(String[] args) {

		int[] arr = { 1, 2, 3, 4, 5 };
		System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 5));

	}

	// 因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
	// 非递归方法得到一个斐波那契数列
	public static int[] fib() {
		int[] f = new int[maxSize];
		f[0] = 1;
		f[1] = 1;
		for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
			f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
		}
		return f;
	}

	// 编写斐波那契查找算法
	// 使用非递归的方式编写算法
	/**
	 * 
	 * @param a   数组
	 * @param key 我们需要查找的关键码(值)
	 * @return 返回对应的下标，如果没有-1
	 */
	public static int fibSearch(int[] a, int key) {
		int low = 0;
		int high = a.length - 1;
		int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标
		int mid = 0; // 存放mid值
		int f[] = fib(); // 获取到斐波那契数列
		// 获取到斐波那契分割数值的下标
		while (high > f[k] - 1) {
			k++;
		}
		// 因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
		// 不足的部分会使用0填充
		int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
		// 实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
		// 举例:
		// temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0} => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234,
		// 1234,}
		for (int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
			temp[i] = a[high];
		}

		// 使用while来循环处理，找到我们的数 key
		while (low < high) { // 只要这个条件满足，就可以找
			mid = low + f[k - 1] - 1;
			if (key < temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的前面查找(左边)
				high = mid - 1;
				// 为甚是 k--
				// 说明
				// 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
				// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
				// 因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
				// 即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
				// 即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
				k--;
			} else if (key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
				low = mid + 1;
				// 为什么是k -=2
				// 说明
				// 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
				// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
				// 3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
				// 4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
				// 5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
				k -= 2;
			} else { // 找到
				// 需要确定，返回的是哪个下标
				if (mid <= high) {
					return mid;
				} else {
					return high;
				}
			}
		}
		if(a[low]==key) {
			return low;
		}
		else {
			return -1;
		}
	}
}

• 程序运行结果

index=4