leetcode面试题62. 圆圈中最后剩下的数字（约瑟夫环）

0,1,,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

【题解】

1、本题以递归的形式来解题。

假定函数f(n,m)表示长度为n的数字，每次删除第m个数字后，最终留下的最后一个数字。

那么f(n,m)只进行一轮，即只删除1个数字后会得到f(n-1,m)这个方程。这里需要注意：

f(n,m)在第一轮删除数字后，留下的原数字编号与f(n-1,m)中的数字编号是有偏移的。eg:0、1、2、3、4，m=3，f(5,3)删除第一轮后，剩下0、1、3、4。而如果仅对于原始的f(4,3)而言，他对应的数字编号为0、1、2、3，这样就产生来一个编号的diff，即有偏移量，所以要将f(4,3)的答案递归回f(5,3)的过程中需要加上偏移，以适配与在原始n=5下的数字编号。所以对于f(n-1,m)这一个方程的求解，假定为x，对应到f(n,m)这个原序列中，x的编号在长度为n的序列中的编号实际应该为(m%n+f(n-1,m))%n，m%n为在长度为n的序列中进行一轮后的偏移量，f(n-1,m)则为在长度为n-1的序列中（且数字依次为0、1、2..n-1）求解的最终答案。

所以满足递归条件f(n,m) = [m%n+f(n-1,m)]%n。递归出口是f(1,m)=0，当只有一个元素时，其删除元素必然为第0号。

所以：

    int func(int n, int m) {  // 递归函数本体：递归出口+递归公式
        if(n == 0)
            return 0;
        return (m % n + func(n-1, m)) % n;
    }
    int lastRemaining(int n, int m) {  //调用递归
        int res = func(n, m);
        return res;
    }

或将递归改写成for循环来实现。

基本等同，将递归公式中的n修改为循环变量i即可。

    int lastRemaining(int n, int m) {
        if(n == 1)
            return 0;
        int res = 0;
        for(int i = 2; i < n + 1; i++) {
            res = (m % i + res) % i;
        }
        return res;
    }