循环冗余检验 (CRC) 算法原理

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https://www.cnblogs.com/esestt/archive/2007/08/09/848856.html

Cyclic Redundancy Check循环冗余检验，是基于数据计算一组效验码，用于核对数据传输过程中是否被更改或传输错误。

算法原理

假设数据传输过程中需要发送15位的二进制信息g=101001110100001，这串二进制码可表示为代数多项式g(x) = x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^7 + x^5 + 1，其中g中第k位的值，对应g(x)中x^k的系数。将g(x)乘以x^m，既将g后加m个0，然后除以m阶多项式h(x)，得到的(m-1)阶余项r(x)对应的二进制码r就是CRC编码。

h(x)可以自由选择或者使用国际通行标准，一般按照h(x)的阶数m，将CRC算法称为CRC-m，比如CRC-32、CRC-64等。国际通行标准可以参看http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_redundancy_check

g(x)和h(x)的除运算，可以通过g和h做xor（异或）运算。比如将11001与10101做xor运算：

      

明白了xor运算法则后，举一个例子使用CRC-8算法求101001110100001的效验码。CRC-8标准的h(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + 1，既h是9位的二进制串111010101。 

      

经过迭代运算后，最终得到的r是10001100，这就是CRC效验码。

通过示例，可以发现一些规律，依据这些规律调整算法：

1. 每次迭代，根据gk的首位决定b，b是与gk进行运算的二进制码。若gk的首位是1，则b=h；若gk的首位是0，则b=0，或者跳过此次迭代，上面的例子中就是碰到0后直接跳到后面的非零位。

               


2. 每次迭代，gk的首位将会被移出，所以只需考虑第2位后计算即可。这样就可以舍弃h的首位，将b取h的后m位。比如CRC-8的h是111010101，b只需是11010101。 

      

3. 每次迭代，受到影响的是gk的前m位，所以构建一个m位的寄存器S，此寄存器储存gk的前m位。每次迭代计算前先将S的首位抛弃，将寄存器左移一位，同时将g的后一位加入寄存器。若使用此种方法，计算步骤如下： 

      

※蓝色表示寄存器S的首位，是需要移出的，b根据S的首位选择0或者h。黄色是需要移入寄存器的位。S'是经过位移后的S。

 

查表法

同样是上面的那个例子，将数据按每4位组成1个block，这样g就被分成6个block。

      

下面的表展示了4次迭代计算步骤，灰色背景的位是保存在寄存器中的。 

      

经4次迭代，B1被移出寄存器。被移出的部分，不我们关心的，我们关心的是这4次迭代对B2和B3产生了什么影响。注意表中红色的部分，先作如下定义：

   B23 = 00111010
   b1 = 00000000
   b2 = 01010100
   b3 = 10101010
   b4 = 11010101
   b' = b1 xor b2 xor b3 xor b4

4次迭代对B2和B3来说,实际上就是让它们与b1,b2,b3,b4做了xor计算，既：

   B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4

可以证明xor运算满足交换律和结合律，于是：

   B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4 = B23 xor (b1 xor b2 xor b3 xor b4) = B23 xor b'

b1是由B1的第1位决定的，b2是由B1迭代1次后的第2位决定（既是由B1的第1和第2位决定），同理,b3和b4都是由B1决定。通过B1就可以计算出b'。另外，B1由4位组成，其一共2^4有种可能值。于是我们就可以想到一种更快捷的算法，事先将b'所有可能的值，16个值可以看成一个表；这样就可以不必进行那4次迭代，而是用B1查表得到b'值，将B1移出，B3移入，与b'计算，然后是下一次迭代。

      

可看到每次迭代，寄存器中的数据以4位为单位移入和移出，关键是通过寄存器前4位查表获得
，这样的算法可以大大提高运算速度。

上面的方法是半字节查表法，另外还有单字节和双字节查表法，原理都是一样的——事先计算出2^8或2^16个b'的可能值，迭代中使用寄存器前8位或16位查表获得b'。

反向算法

之前讨论的算法可以称为正向CRC算法，意思是将g左边的位看作是高位，右边的位看作低位。G的右边加m个0，然后迭代计算是从高位开始，逐步将低位加入到寄存器中。在实际的数据传送过程中，是一边接收数据，一边计算CRC码，正向算法将新接收的数据看作低位。

逆向算法顾名思义就是将左边的数据看作低位，右边的数据看作高位。这样的话需要在g的左边加m个0，h也要逆向，例如正向CRC-16算法h=0x4c11db8，逆向CRC-16算法h=0xedb88320。b的选择0还是h，由寄存器中右边第1位决定，而不是左边第1位。寄存器仍旧是向左位移，就是说迭代变成从低位到高位。

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Cheney Shue
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posted on 2007-08-09 10:37 Cheney Shue 阅读( 54563) 评论( 22) 编辑 收藏

评论

#1楼 2007-09-17 11:46 误码

谢了，基本看懂了，能给个计算b'表值的程序吗？[email protected]

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#2楼 [楼主] 2007-09-19 11:48 Cheney Shue  

@误码
可以

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#3楼 2008-03-12 16:44 wuxixi

谢谢您这么详细准确的讲解，我毕业设计与CRC32有关，找到这样一份资料很有帮助。请问您有时间讲解一下计算b'表值的程序码？如果可以的话，麻烦您发给我，再次谢谢！[email protected]

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#4楼 2008-03-14 20:10 munababy

多谢BZ,写的很容易懂.辛苦了.感谢你的帮助.

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#5楼 2008-03-25 15:05 gg

谢谢BZ 看懂了大部分

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#6楼 2008-11-20 21:08 damo

基本上看懂了，讲得非学好。

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#7楼 2008-12-01 09:24 gg_shily

Hi, 为什么逆向的时候要先移位在和b做异或操做呢？

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#8楼 2008-12-04 13:12 王洪波

前面的看懂了，但后面的有些模糊，不过还是要谢谢，这比一些书上写的要详细的多了

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#9楼 2008-12-21 13:35 grainsea

很明白，谢谢！！o(∩_∩)o...呵呵o(∩_∩)o...

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#10楼 2008-12-21 16:27 grainsea

感谢，感谢......

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#11楼 2009-02-20 09:07 未注册用户

谢谢，楼主辛苦了！

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#12楼 2009-03-03 09:41 dxk

谢谢博主，写得很明白

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#13楼 2009-05-12 16:21 sophia

Thanks!

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#14楼 2009-05-21 11:45 diy

写的不错

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#15楼 2009-05-23 14:23 lujun

谢谢你详细地讲解，看到好几篇相关的文章，看到这一篇觉得最好懂
极力推荐！！

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#16楼 2009-09-22 22:16 givesser

看了你的讲解，茅塞顿开，谢谢。

  

#17楼 2010-08-25 20:41 sunmar

逆向的能否写清楚些啊？最好举个完整的例子，感觉跟正向的差太多了。

  

#18楼 2010-12-17 16:32 DreamSea  

好文章。转载

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#19楼 2011-03-30 13:57 白开水易拉罐  

完全没看懂！有时间回来再看。

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#20楼 2011-10-09 14:19 wangzx  

楼主
//3. 每次迭代，受到影响的是gk的前m位，所以构建一个m位的寄存器S，此寄存器储存gk的前m位。每次迭代计算前先将S的首位抛弃，将寄存器左移一位，同时将g的后一位加入寄存器。若使用此种方法，计算步骤如下
//这段程序怎么实现呢 用C语言，我想了很久都没有想到，特地请教下

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#21楼 2011-10-13 14:04 it-mac  

今天终于基本看明白了！这么详细的介绍，楼主辛苦了！

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#22楼 2013-03-11 10:30 Nestler  

现在知道为什么程序里要先左移一位再异或了
原来代码里CRC最高位被省略了。。

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