【数论】HDU6211 - Pythagoras
题意
给出k和
这
个数，求所有勾股数三元组(x, y, z) (x
思路
不得不说我是完完全全的数论菜鸟，只会孙子定理的那种233。这道题真的是让我学会了好多东西。
在看思路之前，你需要了解如下知识。
1.如何快速判断两数是否一奇一偶
假设两数为a和b。则用一个表达式
(a-b)&1即可完成。由于采用了位运算，所以效率很高。
原理：两数奇偶性相同，相减为偶数。两数奇偶性不同，相减为奇数。故两数做减法。&运算符为按位与，奇数的最低为是1，偶数是0。负数的补码一样适用这个规律。（自己开个计算器就懂了）
2.如何求一个数的所有质因数
话不多说，直接上代码。代码中m为被求，数组p里存访m的所有质因数。
for (int q=2; q*q<=m; q++) {
if (!(m%q)) {
p[cnt++] = q;
while (!(m%q)) m/=q; //注意这里
}
}
if (m != 1) p[cnt++] = m;注意while语句。这种操作可以用O(logn)的时间复杂度消去m的所有已经算出的质因子。比如说64，找出了质因子2之后，m就立即变成1了。当然之后要“捡漏”。
3.如何快速算出a mod 2^n
这里采用位运算。
t&MOD直接一个表达式解决所有问题。其中MOD为2的n次方减1。采用位运算可以写成
int MOD = (1 << n) - 1;（不懂的话自己开个计算器秒懂233）
4.如何快速判断两个正整数互质
两个数互质，就是两个数没有大于1的公因子。只要判断前一个数是否能整除后一个数所有的质因子即可，反之亦然。这里就不上代码了。
5.如何快速计算形如a+i*i (i为正整数)的表达式
我们很容易想到如下方法。
for (int i=1; i<=n; i++) {
int m = a + i*i;
}如下方法也能达到同样的效果。
int c = a;
for (int j=1; j这种方法把多次运算的乘法，换成了累加。至于原理，大家算一遍就会明白了。优化常数阶。
------------------------------------------------华丽的分割线------------------------------------------------
这里采用预先处理打表的方法。
因为勾股数公式为x^2 + y^2 = z^2，这里z小于1e9（题目要求），所以可得x^2小于1e9（因为勾股数前两个一定小于最后一个）。
勾股数生成公式：x=i*i-j*j, y=2*i*j, z=i*i+j*j 其中i和j为互质且奇偶性相反的正整数。
所以枚举i从1到
，接着计算x的所有质因数。接着从1到i枚举j，这里有两个剪枝：第一个是判断勾股数第三个数z是否大于1e9。第二个为判断奇偶性是否相反。
接着判断i和j是否互质，如果是的话，就把i*i-j*j和2*i*j也就是x和y中较大的那个加入备选数组，使数组自增1。
等等，这里数可能很大（到1e9），数组开不下。这里又用到了一个优化：题目总数据量只有2的17次方，为131072。那我们先把这个数模2^17，加入数组即可。这样做的话，因为题目的实际范围使小于等于2的17次方的，比如说a mod 2^17 mod 2^4，结果和a mod 2^4是相同的。（还是开一下计算器就明白了，要用二进制的思想哦）正好还免去了重复打表的过程，一举两得。
以上是打表过程，需要预先操作。然后读入数据，此时备选数组中的内容就是次数。所以计算
long long sum = 0;
for (int i=0; i<=(1<<17)-1; i++) {
sum += (long long)a[i&((1<，其中a为题目所给数据，b为备选数组，累加即可，注意long long防止越界。
碎碎念：终于写完了，也是半夜进入新的一天了，明天还要上课，滚去睡觉了。
代码：
#include
#include
typedef long long LL;
const int MAXN = (1 << 17);
const int MOD = (1 << 17) - 1;
int A[MAXN+5];
int K;
int B[MAXN+5];
void pre() {
int sqrt1e9 = sqrt(1000000000);
for (int i=1; i<=sqrt1e9; i++) {
int m=i;
int p[20];
int cnt = 0;
//计算质因数
int q;
for (q=2; q*q<=m; q++) {
if (!(m%q)) {
p[cnt++] = q;
while (!(m%q)) m/=q;
}
}
if (m != 1) p[cnt++] = m;
int c = i*i;
for (int j=1; j1000000000) break;
if (!((i-j)&1)) continue; //判断奇偶性
int k;
for (k=0; k= cnt) {
int t = 2*i*j;
if (i*i-j*j > t) t = i*i-j*j;
B[t&MOD]++;
}
}
}
}
void solve() {
int t = (1 << K) - 1;
LL sum = 0;
for (int i=0; i<=MOD; i++) {
sum += (LL)A[i&t]*B[i];
}
printf("%lld\n", sum);
}
int main() {
pre();
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d", &K);
for (int i=0; i<(1 << K); i++) {
scanf("%d", &A[i]);
}
solve();
}
return 0;
}