回文三板斧(第三招：发掘马拉车的剩余价值)

有些题目需要频繁的判断任意子串是否是回文的。本文分享一下利用马拉车的长度数组判断任意子串是否回文的方法，时间复杂度低至 O(1) 。

先来回忆一下马拉车：

• 选择占位符，根据原始字符串 S 构造字符串 PS。
• O(n) 的计算长度数组 len。len[i] 表示 PS 中，以 PS[i]为中心的最长的回文子串的长度。

当我们要判断 S[L:R]是否为回文串时，仅需两个步骤：

• 找到 PS 中与 S[L:R] 对应的子串位置，记为 PS[L’: R’]。
  • L’ = L*2+1
  • R’ = R*2+1
• 判断 len[mid] 是否小于PS[L’:R’]的长度。如果小于，则S[L:R]不是回文，反之则是。
  • mid = (L’ + R’) / 2

以 S[1:5] 为例，首选换算对应子串位置，得到 PS[3:11]，找到PS[3:11]的中心 PS[7]，通过查询长度数组 len，得知以 PS[7] 为中心的最长回文串的长度为 15。显然 PS[3:11] 及 S[1:5] 都是回文的。
偶数长度的字符串同样有效，比如 S[6:7]，老铁们可自行验证~

尝试证明一下

因为 len[mid] 记录的是以 PS[mid] 为中心的最长回文子串的长度。而S[L:R] 对应的PS[L’:R’] 也是以 PS[mid] 为中心的子串。显然：

• 当 PS[L’:R’] 的长度不超过 len[i] 时，PS[L’:R’] 一定是回文串。
• 当 PS[L’:R’] 超过 len[mid]，PS[L’ : R’] 一定不是回文串。

否则的话就与长度数组 len 的定义矛盾了，所以上述结论一定是成立的。

几个练习题

• 5. 最长回文子串
• 647. 回文子串
• 131. 分割回文串
• 132. 分割回文串 II

代码

class Manacher {
    public:
    Manacher(const std::string &s) {
        construct(s);
    };

    // s[L:R] 是否是回文的
    bool isPalindrome(int L, int R) {
        L = L*2 + 1;
        R = R*2 + 1;
        int mid = (L+R)/2;
        if(0 <= mid && mid < len.size() && R-L+1 <= len[mid]) {
            return true;
        }
        return false;
    }

    private:
    vector<int> len;

    void construct(const std::string &s) {
        vector<char> vec;
        // 用 0 作为分隔符
        vec.resize(s.size()*2+1);
        for(int i = 0; i < s.size(); i++) {
            vec[i<<1|1] = s[i];
        }

        int L = 0, R = -1;
        len.resize(vec.size());
        
        for(int i = 0, n = vec.size(); i < n; i++) {
            if(i <= R) {
                len[i] = min((R-i)*2+1, len[L+R-i]);
            } else {
                len[i] = 1;
            }
            int l = i - len[i]/2 - 1;
            int r = i + len[i]/2 + 1;
            while(0 <= l && r < vec.size() && vec[l] == vec[r]) {
                --l;
                ++r;
            }
            len[i] = r-l-1;
            if(r > R) {
                L = l+1;
                R = r-1;
            }
        }
    }
};