Pascal定理的最简证明

 

Pascal定理的最简证明

 

      【Pascal定理】在任意圆锥曲线上由任意6个点1、2、3、4、5、6所构成的内接六边形123456的三组对边12与45，23与56，34与61分别形成的三个交点L、M、N必在一直线上。

 

      【定理的证明】我们对园进行证明，并设123456为一个正六边形。这时对边均相互平行，即12||45，23||56, 34||61，故三组对边的3交点L、M、N都在无穷远，都是无穷远点，故它们都在在无穷远直线上，证明完毕。

 

      【说明】利用以上证明，不一定要求是正六边形，只要对边平行的任意六边形（hexagon）都正确，而且也不一定要圆，凡是圆锥曲线，如椭圆、双曲线，甚至退化情况，也行，只要三组对边均平行。如下面图中为内接在椭圆的60个hexagon，其中第1，17，22，26，51，58，共有六个六边形对边都相互平行，所以以上证明都完全适用。

 

 

      【注1】：Pascal定理是射影几何中的定理，它对一切圆锥曲线和一切六边形成立。在射影几何中，任意2直线都有交点，平行线交点是无穷远点，而所有无穷远点在一无穷远直线上。如果是欧氏几何，平行线没有交点，这样Pascal定理就有许多例外情况而不成立，包括我们上面所举的例子；

     【注2】：看了以上证明，你或许会问：圆锥曲线上6个点可以构成60个不同的hexagon（六边形），定理的证明应对所有hexagon适用，不能只考察一些特例。你说得对，但现在你看到的任意一本书或文章都是针对其中一个或几个Hexagon进行证明，而其证明方法并不适用于一切Hexagon！见参考文献1,2,3。

 

参考文献：

1. Pascal定理的百度证明：

        https://wenku.baidu.com/view/3b721e5e3b3567ec102d8a3e.html

2. Pascal定理的维基证明：

        https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_theorem

3. Pascal定理的严格证明问题:

        http://blog.csdn.net/zzwu/article/details/18411473