组合数学题型总结

第一章

第二章

1. 容斥原理
   1. A,B,C,D 4 位学生选课，共有 a,b,c,d,e 5 门课可选。由于基础不同，A 不可以选 a和 c，B 不可以选 b，C 不可以选 c、d 和 e，D 可以选任何课。
      问：（1）如果每人选一门，有多少种选法？
      （2）每人选两门，有多少种选法？
   2. 教师授课问题
2. 求$S=\{X_1\cdot a,X_2\cdot b,X_3\cdot c,\cdots \}$的 r 组合数
   1. 一花店某时只有6个红玫瑰，7个粉玫瑰，8个黄玫瑰，从中选12枝花有多少种选法
3. 整除问题
   1. 1到1000之间不能被4、5、6整除的整数有多少？
4. 求方程整数解的问题，并规定$X_i$的范围
   1. 求方程 $x_1+x_2+x_3+x_4=18$ 的非负整数解的个数，其中 $0\le x_1\le 5,0\le x_2\le 6,5\le x_3\le 9,2\le x_4\le 10$
5. 鸽巢原理
   1. 给定52个整数中，至少存在两个数，它们的和或差可以被100整除
   2. 从1至2n的2n个自然数中任选n+1个，那么其中至少有一对数互质。
   3. 任意7个实数中必存在两个实数x,y,满足 $0⩽\frac{x-y}{1+xy}⩽\frac{\sqrt{3}}{3}$

第三章

1. 求 ${\sum }_{k=0}{k}^3$，${\sum }_{k=0}k(k+1)$等

2. 求递推关系

   1. n位十进制数中，出现偶数个3/5/7的数有多少个
   2. 用红白蓝三种颜色给1*n的方块着色，要求不能连续两块红色
   3. 用a,b,c组成长为n的字符串，要求不能有两个a同时出现
   4. 几何问题

3. 求解递推关系

   1. 迭代法$\{\begin{array}{c}f(n)=nf(n-1)+n!\\ f(0)=2\end{array}$
   2. $\{\begin{array}{c}nf(n)+(n-1)f(n-1)=2^n(n>=2)\\ f(0)=3\end{array}$

4. 其他题

   一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1个小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。

第四章

1. 正整数解的个数
   1. 求方程$X_1+X_2+X_3=10$大于等于2的整数解的个数
   2. 求方程 $x_1+2x_2+4x_3=21$ 正整数解的个数
2. 奇数个、偶数个
   1. 由 $a,b,c,d,e$ 组成的长为n的字符串中，要求a与b之和为偶数，这样的字符串有多少个
   2. 由 $a,b,c,d,e$ 组成的长为n的字符串中，要求a与b之和为奇数，这样的字符串有多少个
   3. 由数字 $1,2,3,4,5$ 组成的长为n的数中，其中要求1出现奇数次，4出现偶数次
   4. n位十进制数中，出现偶数个3/5/7的数有多少个
   5. n位四进制数中，有奇数个0的序列共有多少个？
   6. 棋盘用三种颜色着色，其中要求白色偶数个
3. 求 ${\sum }_{k=0}{k}^3$，${\sum }_{k=0}k(k+1)$等
   1. 利用生成函数计算
      1. $1^2+2^2+\cdots +n^2$
      2. $1^3+2^3+\cdots +n^3$
      3. $1\ast 2+2\ast 3+\cdots +n(n+1)$
4. 求解递推关系
   1. 求解下列递推关系
      1. $\{\begin{array}{c}f(n)=f(n-1)+9f(n-2)-9f(n-3)\\ f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2\end{array}$
5. 组合型
   1. 在一个程序设计课程里,每个学生的每个任务最多可以运行10次.教员发现某个任务共运行了38次.设有15名学生,每个学生对这一任务至少做一次.求观察到的总次数的组合数.
   2. 求正整数解的问题即组合型问题
6. 排列型
   1. 奇数偶数个问题即排列型问题
   2. 棋盘着色问题（偶数个白色块）
7. 其他题型
   1. 设有砝码重为$1g$的3个,重为$2g$的4个,重为$4g$的2个,问能称出多少种重量？各有多少种方案？