【NOIP模拟题】【DP】【同余最短路】【暴力剪枝】2016.11.15 第二题 小L的牛栏 题解

小L的牛栏

【题目描述】 小L通过泥萌的帮助，成功解决了二叉树的修改问题，并因此写了一篇论文， 成功报送了叉院（羡慕不？）。勤奋又勤思的他在研究生时期成功转系，考入了北京大学光华管理学院！毕业后，凭着自己积累下的浓厚经济学与计算机学的基础，成功建设了一个现代化奶牛场！ 奶牛们十分聪明,于是在牛场建围栏时打算和小L斗智斗勇！小L有N种可以建造围栏的木料，长度分别是l1,l2„lN，每种长度的木料无限。
修建时，他将把所有选中的木料拼接在一起，因此围栏的长度就是他使用的木料长度之和。但是聪明的小L很快发现很多长度都是不能由这些木料长度相加得到的，于是决定在必要的时候把这些木料砍掉一部分以后再使用。
不过由于小L比较节约，他给自己规定：任何一根木料最多只能削短M米。当然，每根木料削去的木料长度不需要都一样。不过由于测量工具太原始，小L只能准确的削去整数米的木料，因此，如果他有两种长度分别是7和11的木料，每根最多只能砍掉1米，那么实际上就有4种可以使用的木料长度，分别是6， 7，10, 11。
因为小L相信自己的奶牛举世无双，于是让他们自己设计围栏。奶牛们不愿意自己和同伴在游戏时受到围栏的限制，于是想刁难一下小L，希望小L的木料无论经过怎样的加工，长度之和都不可能得到他们设计的围栏总长度。不过小L知道，如果围栏的长度太小，小L很快就能发现它是不能修建好的。因此她希望得到你的帮助，找出无法修建的最大围栏长度。 这一定难不倒聪明的你吧！如果你能帮小L解决这个问题，也许他会把最后的资产分给你1/8哦！
【输入格式】
输入的第一行包含两个整数N, M，分别表示木料的种类和每根木料削去的最大值。以下各行每行一个整数li(1< li< 3000),表示第i根木料的原始长度。
【输出格式】
输出仅一行，包含一个整数，表示不能修建的最大围栏长度。如果任何长度的围栏都可以修建或者这个最大值不存在，输出-1。
【样例输入】
2 1
7 11
【样例输出】
15
【数据范围】
40 % ：1< N<10, 0< M< 300
100 % ：1< N< 100, 0< M< 3000

1.直接用背包算法(40%)
2.同余最短路(100%)
P.S.没看懂
1.首先预处理出所有能搞出来的原始木棍长度，然后找到一个最小的，记为P。如果P=1那就不用做下去了，直接输出-1.
2.我们把所有的整数按mod P 的值分为P 类（mod P=0,1,2,3,4…P-1），记为集合Q0，Q1，Q2…QP-1如果集合Qi 中有一个长度len 可以被组合出来，那么该集合中所有比len 大的数也一定可以组合出来.因为是mod P 的，所以len 可以不断加P 来组合出比它大的且和它在同一个集合里的数。根据这个性质就可以找到图论模型了。
3.我们抽象出P-1 个点，分别表示集合Qi 中最小的能被组合出来的数D[i]。那么把根据原始木棍的长度，可以在这些点之间连边，表示可以从Qi 中的一个数加X 得到Qj中的一个数。然后利用dijkstra 算法就可以求出“集合Qi 中最小的能被组合出来的数”了。具体实现的时候有个小优化可以减少边的数量，就是如果多条边的权值mod P 相等，那么只要加入其中的一条就可以了（根据同余定理）。
4.那么如何根据最后D[i]的值来得到答案呢？ 还是利用性质“如果集合Qi 中有一个长度len 可以被组合出来，那么该集合中所有比len 大的数也一定可以组合出来”来做。依次检查每一个D[i]，如果D[i]>i,那么集合Qi 中最大的不能被组合出来的数就是D[i]-P。检查所有的D[i] 取最大值就是答案了。
5.复杂度，因为建图的复杂度就是O（N^2）的，所以dijkstra 的复杂度写成O（N^2）即可。所以总复杂度就是O（N^2）的。
em.标答这样说的，那就这。
3.直接暴力+剪枝(100%)
我们注意到：
1.若长度可以为1.则任何长度的围栏都可以.
2.若连续v 个长度都可以.则上一个不可以的长度为最大值(v 是最短的木头长度)
3.若所有木头的长度的最大公约数是1.说明最大值不存在.
于是将以上条件作为条件来暴力就AC了

附代码：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#ifdef WIN32
#define AUTO "%I64d"
#else
#define AUTO "%lld"
#endif

using namespace std; 

const int maxn = 300005; 
int n,m,b,ans,tot;
int len[maxn],exist[maxn],dp[maxn];

template <class T> inline void read(T &xx)
{
    xx = 0;
    T flag = 1;
    char ch = (char)getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        if(ch == '-') flag = -1;
        ch = (char)getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        xx = (xx<<1) + (xx<<3) + ch - '0';
        ch = (char)getchar();
    }
    xx *= flag;
}

void init()
{
    read(n); read(m); tot = n;
    for(int  i =1; i <= n; i++)
        read(len[i]);
}

void work()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if(len[i]-j > 0 && !exist[len[i]-j])
            {
                len[++tot] = len[i]-j;
                exist[len[i]-j] = 1;
            }
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 50000; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= tot; j++)
            if(i - len[j] >= 0 && dp[i-len[j]]) dp[i] = 1;
        if(dp[i] == 0) ans = max(ans,i);
    }
    if(ans) printf("%d",ans);
    else printf("-1");
}

int main()
{
    freopen("bullpen.in","r",stdin);
    freopen("bullpen.out","w",stdout);
    init();
    work();
    return 0;
}

2.同余最短路(std)

//#include 
#include
#include
#define rep(i,n) for(int i = 1; i <= n; i ++)
#define imax(x,y) (x > y? x: y)
#define imin(x,y) (x < y? x: y)
#define N 3010
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
int firste[N],nexte[N*N],v[N*N],w[N*N];
int dist[N],num[N];
bool color[N],used[N];
int n,m,ans, e = 1,low = 83647,top=0,cnt=0;
bool flag=0;
void build_edge(int x,int y,int z)
{
    ++ e;
    nexte[e] = firste[x];
    firste[x] = e;
    v[e] = y;
    w[e] = z;
}
int gcd(int x, int y)
{
    if(x > y) swap(x, y);
    while(x)
    {
        int z = x;
        x = y % x;
        y = z;
    }
    return y;
}
bool check(int x)
{
    if(x == low)return 0;
    int tx = x % low;
    while(tx < x)
    {
        if(color[tx])return 0;
        tx += low;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    freopen("bullpen.in", "r", stdin);
    freopen("bullpen.out", "w", stdout);
    int x,vans = 0;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    rep(i, n)
    {
        scanf("%d",&x);
        if(x - m <= 1)
        {
            printf("-1");
            return 0;
        }
        low = imin(low, x - m);
        top = imax(top, x);
        for(int j = x - m; j <= x; j ++)
        color[j] = 1;
    }
    for(int i = 2; i <= top; i ++)
        if(color[i])
            num[++ cnt] = i;
    for(int i = 1; i < cnt; i ++)
    {
        for(int j = i + 1; j <= cnt; j ++)
        if(gcd(num[i], num[j]) == 1)
        {
            flag = 1;
            break;
        }
        if(flag)break;
    }
    if(!flag)
    {
        printf("-1");
        return 0;
    }
    rep(i, cnt)
    if(check(num[i]))
    {
        int z = num[i] / low;
        for(int j = 0; j < low; j ++)
        {
            int y = (j + num[i]) % low;
            if(y > j) 
                build_edge(j, y, z);
            else 
                build_edge(j, y, z + 1);
        }
    }
    memset(dist, 60, sizeof(dist));
    dist[0] = 0;
    for(int i = 1; i < low; i ++)
    {
        int u = low;
        for(int j = 0; j < low; j ++)
            if(!used[j] && dist[j] < dist[u]) u = j;
        used[u] = 1;
        for(int p = firste[u]; p; p = nexte[p])
            if(dist[v[p]] > dist[u] + w[p])
                dist[v[p]] = dist[u] + w[p];
    }
    for(int i = 0; i < low; i ++)
        ans = imax(ans, (dist[i] - 1) * low + i);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}