杜教筛学习笔记

前言

头都给队友们打烂了啊
这玩意还是简单易懂的啊qwq
似乎博客已经变成了笔记博客？？

用途

求一类积性函数的前缀和
经典问题有求$\mu$与$\varphi$的前缀和，本文将以这两个函数的前缀和为例

前置

狄利克雷卷积
两个函数$f$和$g$的狄利克雷卷积$f\ast g$即为
$$(f\ast g)(i)=\sum _{d|i}f(i)g(\frac{i}{d})$$

玩法

假设当前我们需要求$f(x)$的前缀和$S(x)$
宇宙惯例，一般$n$很大求不出来所以我们得做一些奇妙的操作
假设我们能弄出来一个简单的积性函数$g(x)$
对其做狄利克雷卷积得到函数$f\ast g$
$$(f\ast g)(i)=\sum _{d|i}f(i)g(\frac{i}{d})$$

不妨设$(f\ast g)(x)$的前缀和函数为$pre(x)$，则有
$$pre(x)=\sum _{i=1}^x\sum _{d|i}f(i)g(\frac{i}{d})$$
把后面那个项提出来可以得到
$$pre(x)=\sum _{d=1}^{x}g(d)\ast \sum _{d|i}f(\frac{i}{d})$$
$$pre(x)=\sum _{d=1}^{x}g(d)\ast \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{i}{d}\rfloor }f(i)$$
$$pre(x)=\sum _{d=1}^{x}g(d)\ast S(\lfloor \frac{i}{d}\rfloor )$$

我们不难得到下面的一个式子
$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^{n}g(i)\ast S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )-\sum _{i=2}^{n}g(i)\ast S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$
注意到$S(i)={\sum }_{j=1}^{i}f(j)$，考虑在狄利克雷卷积中，每个$g(d)$相乘的$f(\frac{i}{d})$中$\frac{i}{d}$的值域在$[1,\frac{n}{i}]$中，故不难得到其实前面是一个狄利克雷卷积和
那么式子可以变为
$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)\ast S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$
如果狄利克雷卷积的前缀和可以快速求出，且$g$的前缀和也能快速求出
那么就可以对后面的$S(i)$数论分块，记忆化一发开始gank
如果能预处理前$n^{\frac{2}{3}}$的前缀和就能做到$O(n^{\frac{2}{3}})$

筛$\mu$

首先能知道一个结论就是
$$\sum _{d|n}\mu (d)=[n==1]$$
那么我们构造$g(x)=1$
显然狄利克雷卷积的任意前缀和均为$1$
那么就是要算
$$S(n)=1-\sum _{i=2}^{n}g(i)\ast S(\frac{n}{i})$$
那么直接做就好了

筛$\varphi$

又出来一个结论就是
$$\sum _{d|n}\varphi (d)=n$$
证明不妨考虑枚举$[1,n]$中的数与$n$的$gcd$
同样构造$g(x)=1$
显然狄利克雷卷积的某个前缀和$i$即为$\frac{i\ast (i+1)}{2}$
那么就是要算
$$S(n)=\frac{(1+n)\ast n}{2}-\sum _{i=2}^{n}g(i)\ast S(\frac{n}{i})$$
同样直接做就好了

模板

bzoj3944 sum
即为筛$\varphi$与$\mu$的前缀和
注意$2^{31}-1$加一可能会爆$int$

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define pll pair
#define pii pair
using namespace std;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int stack[20];
inline void write(LL x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(!x){putchar('0');return;}
    int top=0;
    while(x)stack[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)putchar(stack[top--]+'0');
}
inline void pr1(LL x){write(x);putchar(' ');}
inline void pr2(LL x){write(x);putchar('\n');}
const int MAXN=5000005;
const int MAXM=50005;
int n,N;
int pr[MAXN],plen,mu[MAXN],phi[MAXN];
bool is[MAXN];
LL pre1[MAXN],pre2[MAXN];
void init()
{
	phi[1]=1;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<MAXN;i++)
	{
		if(!is[i])pr[++plen]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=plen&&i*pr[j]<MAXN;j++)
		{
			is[i*pr[j]]=true;
			if(!(i%pr[j]))
			{
				mu[i*pr[j]]=0;phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
				break;
			}
			else mu[i*pr[j]]=-mu[i],phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<MAXN;i++)pre1[i]=pre1[i-1]+mu[i],pre2[i]=pre2[i-1]+phi[i];
}
bool vi1[2*MAXM],vi2[2*MAXM];
LL id1[2*MAXM];
int getid(int x){return x<=N?x:n/x+N;}
LL solvemu(int x)
{
	if(x<MAXN)return pre1[x];
	int u=getid(x);
	if(vi1[u])return id1[u];
	LL ret=1;vi1[u]=true;
	for(int i=2,nxt;i<=x;i=nxt+1)
	{
		nxt=x/(x/i);
		LL s=solvemu(x/i);
		ret-=1LL*(nxt-i+1)*s;
		if(nxt==x)break;
	}
	return id1[u]=ret;
}
LL id2[2*MAXM];
LL solvephi(LL x)
{
	if(x<MAXN)return pre2[x];
	int u=getid(x);
	if(vi2[u])return id2[u];
	LL ret=1LL*(x+1)*x/2;vi2[u]=true;
	for(int i=2,nxt;i<=x;i=nxt+1)
	{
		nxt=x/(x/i);
		LL s=solvephi(x/i);
		ret-=1LL*(nxt-i+1)*s;
		if(nxt==x)break;
	}
	return id2[u]=ret;
}
int main()
{
	init();
	int T=read();while(T--)
	{
		n=read();N=sqrt(n);
		if(n<MAXN){pr1(pre2[n]),pr2(pre1[n]);continue;}
		memset(vi1,false,sizeof(vi1));memset(vi2,false,sizeof(vi2));
		pr1(solvephi(n));
		pr2(solvemu(n));
	}
	return 0;
}