欧几里得算法

首先感谢 C20210413 大佬， C20211711LJS 社花大佬，14大佬对于正确使用 $markdown$ 语法给予的帮助

人物介绍

欧几里得：（英文：$Euclid$；希腊文：Ευκλειδης ，约公元前330年—公元前275年），古希腊人，数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

算法本身

欧几里得算法，即辗转相除法，用于求 $a,b$ 两数的最大公约数数------ $\gcd (a,b)$

结论：$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$

证明：我们设 $r=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$，显然 $r$ 也可以表示为 $r=a-k\times b$，其中 $k=a/b$。

假设 $d$ 是 $a,b$ 的一个公约数，则有：$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d=0$，$b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d=0$。

设 $a=x\times d,b=y\times d$，且 $x,y$ 为整数。而 $r=a-k\times b$。

所以 $r=x\times d-y\times d\times k=(x-k\times y)\times d$，显然，$x-k\times y$ 为整数。

所以 $r$ 是 $d$ 的倍数。所以 $r\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d=0$，又因为 $b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d=0$，且 $r=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$。

所以有：$d=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$

根据以上原理，经过一步代换后，一定会出现 $a>b$。以后的每次代换一定会将 $a,b$ 不断的缩小，而当 $b=0$ 时，它们的最大公约数为 $a$。

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代码实现

int gcd(int a, int b) {
	if(b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);
}	

已被严格证明时间复杂度为：$O(\log max(a,b))$

扩展欧几里得算法

简称扩欧。
可以在已知整数 $a,b$ 的情况下求不定方程 $a\times x+b\times y=\gcd (a,b)$ 的一组整数解。

首先，我们来证明一个结论：对于整数 $a,b$，必定存在整数 $x,y$ 满足 $a\times x+b\times y=\gcd (a,b)$。

证明：设 $a\times x1+b\times y1=\gcd (a,b)$，且 $b\times x2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\times y2=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$。

由欧几里得算法知：$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$。

所以 $a\times x1+b\times y1=b\times x2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\times y2$。

因为 $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-b\times k$，所以 $a\times x1+b\times y1=b\times x2+(a-b\times k)\times y2$。

又因为 $k=a/b$，所以 $a\times x1+b\times y1=b\times x2+(a-b\times (a/b))\times y2$

整理得，$a\times x1+b\times y1=a\times y2+b\times (x2-(a/b)\times y2)$

显然，$x1=y2,y1=(x2-(a/b)\times y2)$，其中 $x2,y2$ 是关于 $\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 的不定方程的解。这就和欧几里得算法联系起来了，因为 $x1,x2$ 是由 $x2,y2$ 得来的，且 $x2,y2$ 关于 $\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 不断变小。

最后，当 $x,y$ 是关于 $\gcd (a,0)$ 的不定方程的解时，不难发现 $a\times x+b\times y=a$， 所以此时 $x=1,y=0$。这就是递归求解的边界。故因为边界确定，所以对于整数 $a,b$，必定存在整数 $x,y$ 满足 $a\times x+b\times y=\gcd (a,b)$。

不难通过刚刚的证明过程，写出代码：

long long x, y;
void Ex_Gcd(long long a, long long b) {
	if(b == 0) {
		x = 1;
		y = 0; 
		return ;
	} 
	Ex_Gcd(b, a % b);
	long long t = x;
	x = y;
	y = t - a / b * y; 
}

应用

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Part 1 判断不定方程 $a\times x+b\times y=c$ 是否有解

根据扩欧：假设 $d=\gcd (a,b)$ ，则 $a\times x+b\times y=d$ 一定有解。

所以 $(a\times x+b\times y)\times k=d\times k$ 一定有解 （$k$ 为整数）。

显然 $a\times x+b\times y=d\times k$ 一定有解。

所以不定方程 $a\times x+b\times y=c$ 中当 $c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\gcd (a,b)=0$ 时，方程有解。否则无解。

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Part 2 不定方程 $a\times x+b\times y=c$ 的通解

对于不定方程 $a\times x+b\times y=c$，我们设 $d=\gcd (a,b)$。当 $c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d=0$ 时有解。

利用扩欧求出 $a\times x^{\prime }+b\times y^{\prime }=\gcd (a,b)=d$ 的一组解 $x^{\prime },y^{\prime }$。

则 $a\times x+b\times y=c$ 一定有一组解为 $x=x^{\prime }\times c/d,y=y^{\prime }\times c/d$。

又因为原方程可化为 $a\times x+k\times a\times b+b\times y-k\times a\times b=c$。其中 $k$ 为整数。

即 $a\times (x+b\times k)+b\times (y-a\times k)=c$。

所以 ：
$x=x^{\prime }\times c/d+b\times k/d$

$y=y^{\prime }\times c/d-a\times k/d$

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Part 3 模线性方程 $a\times x\equiv b$ $(mod$ $n)$ 的解

首先，如果 $a\equiv b$ $(mod$ $n)$，则 $(a-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=0$。

所以，如果 $a\times x\equiv b$ $(mod$ $n)$，则 $(a\times x-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=0$。

于是，我们设 $a\times x-b=n\times y$，其中 $y$ 为整数。

那么模线性方程 $a\times x\equiv b$ $(mod$ $n)$可化为不定方程 $a\times x-n\times y=b$。

解法详见 $Part2$。

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Part 4 乘法逆元

首先，$a\times x\equiv 1$ $(mod$ $n)$的解称为 $a$ 关于模 $n$ 的乘法逆元。

什么情况下 $a$ 的逆元存在？由 $Part3$ 可得当 $ax-ny=1$ 有解时，存在 $a$ 的逆元。

所以由 $Part1$ 得 $1$ 是 $\gcd (a,n)$ 的倍数。所以 $\gcd (a,n)=1$，即 $a$ 和 $n$ 互质。

故，在 $\gcd (a,n)=1$ 的前提下，$a\times x\equiv 1$ $(mod$ $n)$的解就是 $a$ 关于模 $n$ 的乘法逆元。

（其中， $x<n$ 或者说 $x=x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$）

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补充

1.费马小定理

费马： 皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。

定理本身： 如果 $p$ 为质数，且 $a$ 与 $p$ 互质，即 $\gcd (a,p)=1$，那么一定有 $a^{p-1}\equiv 1$ $(mod$ $p)$

求乘法逆元： 因为 $a^{p-1}\equiv 1$ $(mod$ $p)$，所以 $a\times a^{p-2}\equiv 1$ $(mod$ $p)$。故 $a^{p-2}$ 就是 $a$ 关于模 $p$ 的乘法逆元

2.关于同余的一些证明

• 1） 如果 $a\equiv b$ $(mod$ $m)$，$x\equiv y$ $(mod$ $m)$，则 $a+x\equiv b+y$ $(mod$ $m)$。

证明：首先，我们一定能找到 $k_a$ 与 $k_b$ 使得 $a-k_a\times m=b-k_b\times m$，也存在 $k_x$ 与 $k_y$ 使得 $x-k_x\times m=y-k_y\times m$。

所以 $a-k_a\times m+x-k_x\times m=b-k_b\times m+y-k_y\times m$，即 $a+x-m\times (k_a+k_x)=b+y-m\times (k_b+k_y)$。

故 $a+x\equiv b+y$ $(mod$ $m)$

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• 2） 如果 $a\equiv b$ $(mod$ $m)$，$x\equiv y$ $(mod$ $m)$，则 $a\times x\equiv b\times y$ $(mod$ $m)$。

证明：首先，我们一定能找到 $k_a$ 与 $k_b$ 使得 $a-k_a\times m=b-k_b\times m$，也存在 $k_x$ 与 $k_y$ 使得 $x-k_x\times m=y-k_y\times m$（同上）。

所以 $(a-k_a\times m)\times (x-k_x\times m)=(b-k_b\times m)\times (y-k_y\times m)$，展开后必然得到 $a\times x-m\times (...)=b\times y-m\times (...)$。

故 $a\times x\equiv b\times y$ $(mod$ $m)$

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• 3） 如果 $a\times c\equiv b\times c$ $(mod$ $m)$，$\gcd (c,m)=1$，则 $a\equiv b$ $(mod$ $m)$。

证明：首先，我们一定能找到 $k_{ac}$ 与 $k_{bc}$ 使得 $a\times c-k_{ac}\times m=b\times c-k_{bc}\times m$。移项可得 $a\times c-b\times c=k_{ac}\times m-k_{bc}\times m$，即 $(a-b)\times c=m\times (k_{ac}-k_{bc})$

又因为 $\gcd (c,m)=1$ 所以 $(a-b)$ 一定被 $m$ 整除。

故 $a\equiv b$ $(mod$ $m)$。

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完结撒花~