什么是线性空间

 什么是线性空间

学完了“矩阵论”，作一点笔记，首先要感谢我们的“矩阵论”老师，他是从事“矩阵理论与计算”研究的，对矩阵论非常熟悉，他讲课很认真、很生动，对老师您说一声“谢谢！”。   什么是线性空间 定义 设V是一个非空集合，P是一个数域。在V上定义了一种代数运算（V×V－>V），称为加法，记为“＋”；定义了另一种代数运算（P×V－>V），称为数量乘法（简称数乘），记为“·”。如果加法与数量乘法满足如下规则： 1)        ɑ + ß = ß + ɑ； 2)        (ɑ+ß)+γ = ɑ+(ß+γ)； 3)        在V中有一个元素0（称为零元素），对于V中任一元素ɑ都有ɑ+0 = ɑ； 4)        对V中任一元素ɑ，都有V中的元素ß，使得ɑ＋ß=0（ß称为ɑ的负元素，记为-ɑ）； 5)        1·ɑ = ɑ； 6)        к·(ｍ·ɑ)=( кｍ)·ɑ； 7)        （к+ｍ）·ɑ =к·ɑ+ｍ·ɑ； 8)        к·(ɑ+ß) =к·ɑ+к·ß； 其中к、ｍ是数域P中的任意数，ɑ、ß、γ是V中的任意元素，则称V为数域P上的线性空间，线性空间的元素也称为向量。   线性空间的定义是非常抽象的，就是在一个数域P以及一个非空集合V上，定义了两种代数运算，即加法、数乘，并满足下面的八条规则（前四条是加法规则，后四条是数乘规则），就构成所谓的“线性空间V”，V是一个集合，里面的元素即线性空间V中的元素称为向量。这里的线性空间的定义是抽象的，也就是说，只要一个集合符合以上的定义，都可以称为线性空间，集合里面的元素也是抽象的。比如，区间[a,b]上全体连续实函数作成的集合，按函数的加法、数与函数的数量乘法构成实数域R上的线性空间，记为C[a,b]，线性空间中的向量是连续实函数；再比如，数域P上次数小于n的一元多项式再添上零多项式，记为P[x]n，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法构成数域P上的线性空间，线性空间中的向量是次数小于n的多项式。 虽然不同的线性空间，线性空间中的向量各有不同，但只要给定一组“基”，向量在这组“基”下的坐标，都同构于我们所熟悉的P n。这是一个非常重要的结论，因为所有的线性空间都同构于P n，研究P n的结构与性质，其他具体的线性空间的结构与性质可以从P n得到同样的结论。所以，我们研究P n结构与性质，就是在研究抽象的线性空间的结构与性质。 线性空间有哪些结构与性质呢？ 首先是线性空间的维数，我们生活的空间是四维的“空间＋时间”，一个抽象的线性空间的维数该如何确定？线性空间V中有n个线性无关的向量ɑ1、ɑ2、…ɑn，并且V中任一向量都可由ɑ1、ɑ2、…ɑn线性表出，则dim(V)=n 。 其次，需要确定线性空间的一组“基”和“坐标”，在n维线性空间V中，只需要找到n个线性无关的向量ξ1、ξ2、…ξn，即可组成V的一组“基”，V中的任一向量ß，都可以地表示为基ξ1、ξ2、…ξn的线性组合                ß = x1ξ1+x2ξ2+…+xnξn 其中系数x1、x2、…、xn 称为ß在基ξ1、ξ2、…ξn下的坐标，记为（x1、x2、…、xn）T。取定的基不同，坐标就不同，同一向量在不同基下的坐标，存在一个过渡矩阵P（P是可逆的）。 还有，线性空间也是集合，集合有子集、集合的运算等，线性空间子空间，子空间的交与和。 此外，与几何空间相比，线性空间中的向量的度量性质如长度、夹角等，由内积的概念导出，下一节将具体阐述“内积空间”。