博弈 SG
转自：https://blog.csdn.net/tomorrowtodie/article/details/52145645
一、心得体会
1.ACM博弈题，不会的时候觉得难于上青天，会的时候觉得没有比博弈更水的题了；
博弈题看到的第一眼觉得是难题，代码敲完顿觉水题。你可能花半个小时去找规律，然后仅花2分钟敲代码。
2.博弈是单人游戏，也可以说是自己跟自己玩，因为“双方都做出最优决策”这一点限制了，最后的结果不取决
于你是谁，不取决于你的智商，只取决于你面对的局面；
3.局面，这是博弈里面最最最重要的东西！！！（所谓SG也是指这一局面的SG），博弈是一种不公平的游戏
因为游戏开始的时候已经结束了，影响你胜负的就是你所面对的局面，因为双方采取最优策略
故而局面必然会以双方当前对自己最优的路径走下去，所以结局已经确定了
4.当你面对一个局面的时候如何做出最优的决策呢？你一定是走到了最后一步才确定了胜负，所以当前的局面
往往需要从最终的局面逆推而来（也就是从一个已知胜负的局面一步步推导其他的局面，有了这样的思想，SG
也就不那么难理解了）
5.关于SG：
入门了博弈的人都知道，博弈里面常常用到一个重要的概念 – SG。但是SG是什么？你去百度的话会有非常专业的解答，
但是那些所谓的专业绝对让人看的头疼。这里说说我所理解的博弈里面的SG（仅限博弈）
挑程里是这样解释SG值的：
除 任意一步所能转移到的子局面的SG值以外的最小非负整数。
仔细体会一下这句话，你会发现，这里对SG值的定义是递归定义的！
当前局面的SG是什么呢？请先去找当前局面的子局面的SG值。
显然，递归是有一个边界的，SG是一种递归，那么它也是有边界的，
不难发现，它的边界是没有子局面的局面（也就无法再转移的局面）
什么样的局面没有子局面呢，也就是胜负已定的局面。在第4点说到，
当前局面的最优策略是从胜负已定的最终局面逆推来的，这里的SG其实也是
说了这些，那么SG到底是什么呢？
联想当年学习递归的一个例子：
f(n) = 1 , n = 1
f(n-1) +1 ,n > 1
这样一个函数是我们学习递归时的经典例子，你说这里的F到底是什么？其实它不过是一个函数而已。
SG也是一样，它只是一个函数而已，函数这个词翻译成英语再翻译成中文，就成了“功能、作用”
那么SG的作用是什么呢？
举一个最简单的例子：
有一堆石头数量为n,两个人轮流从石堆拿{a1,a2,a3,……,ak}个石头，先取完所有石头者胜。
根据前面说的，首先找胜负已定的局面，当n=0的时候，石头被拿完了，败态
那么sg[0] = 0表示面对0个石头的局面者败，然后根据sg的定义，我们可以求出其他局面的sg值
（为了使每种局面确保有可以转移的子局面，我们假设{a1,a2,a3……,ak}里面一定有1，例如假设没有1的话
，假设为{5，6,7}那么局面4没有可以转移的子局面，这样会出现平局的情况，我们后面再说平局）
这样可以求出所有局面的sg值,然后sg的作用出来了~
我们发现，若sg[x] = 0,那么x是败态，这其中很神奇，鶸也说不清楚，只说一下胜态败态的转移
（其实光理解的话可能还是不知道什么是SG，但是看了后面的题目就能理解了并知道怎么用SG找到游戏的胜态败态了）
6.胜态与败态：
之前说了，博弈里面，游戏开始的时候已经结束了，影响你胜负的就是你所面对的局面。
也就是说，这个局面觉得了你的胜负，我们称能让你走向胜利的局面称为胜态，也是必胜态，专业术语也叫P态（积极的英语单词怎么写？）
称让你走向失败的状态称为败态，也是必败态，专业也叫N态（消极的英语单词鶸也不会拼。。。）
有一个很显然的规律：
只要当前状态可以转移到的状态中有一个是败态，那么当前状态就是胜态。
如果当前状态可以转移到的所有状态都是胜态，那么当前状态就是败态。
这两句话互为逆否命题，一眼就看出是对的就不解释了。
可以胜态败态的角度去理解下SG。
7.Nim游戏：
关于这个Nim游戏，百度的话又是一大堆乱七八糟看不下去的东西，
它的最原始的版本大概是说有N堆石头，{a1,a2,a3……,an}表示每堆的数量，两个人轮流选一个石堆拿若干石头（不能不拿），
如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负。
这个游戏有个非常完美的结论：
令 s = a1^a2^a3….^an(^符号表示异或运算)
若 s = 0,则此局面为败态，否则为胜态
对于上面的式子，我们不难发现，当你从一个石堆拿走一些石头（即改变一个ai），一定会发生胜态和败态的转变
胜态一定会转移成败态，败态也一定有策略转移成胜态
当这个结论与SG结合，神奇的事发生
我们发现sg异或和为0的状态也是败态，否则胜态。
另外，很多游戏都可以转变为Nim的形式，例如POJ 1704(挑程上有讲解)
8.关于平局：
我们发现，一个必胜态的获得，必然是因为它可以转移到一个败态，那么是不是说相比于平局我们更倾向于败态呢？
如果有更多的败态，理论上可以转移出更多的胜态，但是孩子别太天真了啊~
博弈将“对敌人的仁慈就是对自己的残忍”这句话发挥的淋漓尽致，当你选择败态的时候，对方却不会傻傻按照你的想法给你转移胜态的
该你输的时候你还是得输，所以，在博弈里的决策，一定要是对自己最有利对对手最不利的策略才是最优策略，、
也就是说，如果实在不能赢，你一定宁可平局，也不要选择败态。例如今年HDU 多校题5754 里面马的情况
9.当初关于博弈看了很多但是都只是似懂非懂，只有做多了题才有更多的·体会
二、博弈做题技巧
做了个专题：点击打开博弈专题
题目其实好多都是做过的原题，不过以前都是自己找规律的，这次就是用SG打表找规律，通过这些题目也算是知道怎么使用SG找规律了
其中的题目大多都是打表找规律，不过也有一些有趣的题目
PS:题目选自kuangbin 的博弈分类：点击打开链接（难度的话，后面的题都蛮简单，前面的题稍难）
1.打表找规律题：
- #include
- #include
- #include
- #include
- #define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
- using namespace std;
- typedef long long ll;
- /
- 败态：
- 10 - 18
- 163 - 324
- 2917 - 5832
- 综上：
- 败态：
- (9*18^i,18*18^i]
- i从0开始
- /
- const int N = 100000;
- int sg[N+4];
- void solve()
- {
- sg[1] = 0;
- for (int i = 2;i <= N;++i)
- {
- set<int>s;
- for (int j = 2;j <= 9;++j)
- {
- int to = i/j;
- if (i%j)to++;
- s.insert(sg[to]);
- }
- int g = 0;
- while (s.count(g)) ++g;
- sg[i] = g;
- }
- for (int i = 2000;i <= 9000;++i)
- {
- cout<
- }
- }
- ll l[10],r[10];
- void init()
- {
- l[0] = 9,r[0] = 18;
- for (int i = 1;i <= 9;++i)
- {
- l[i] = 18LL*l[i-1];
- r[i] = 18LL*r[i-1];
- }
- }
- bool loser(ll x)
- {
- for (int i = 0;i <= 9;++i)
- {
- if (x>l[i]&&x<=r[i]) return 1;
- }
- return 0;
- }
- int main()
- {
- // solve();
- ll n;init();
- while (~scanf(“%I64d”,&n))
- {
- if (loser(n)) puts(“Ollie wins.”);
- else puts(“Stan wins.”);
- }
- return 0;
- }
#includeS - A Multiplication Game
S题和W题一样的，不说了
R - 悼念512汶川大地震遇难同胞——选拔志愿者
和S、W的意思也差不多，不过操作从乘法变成了加法，由于数据小，于是也没有找规律，直接打完所有表把规律存在表里就好
- #define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
- #include
- #include
- #include
- #include
- #include
- #include
- #include
- #include
- #include
- #include
- #include
- #include
- #define Sint(n) scanf(“%d”,&n)
- #define Sll(n) scanf(“%I64d”,&n)
- #define Schar(n) scanf(“%c”,&n)
- #define Sint2(x,y) scanf(“%d %d”,&x,&y)
- #define Sll2(x,y) scanf(“%I64d %I64d”,&x,&y)
- #define Pint(x) printf(“%d”,x)
- #define Pllc(x,c) printf(“%I64d%c”,x,c)
- #define Pintc(x,c) printf(“%d%c”,x,c)
- using namespace std;
- typedef long long ll;
- const int N = 10010;
- bool sg[N+4];
- int n,m;
- void turn(int n)//以败态转移
- {
- for (int i = 1;i <= m;++i)
- {
- sg[n+i] = 1;//胜态
- }
- }
- void solve()
- {
- mem(sg,0);
- sg[0] = 0;
- for (int i = 0;i <= n;++i)
- {
- if (sg[i] == 0)//败态
- {
- turn(i);
- }
- }
- }
- int main()
- {
- int T;cin>>T;
- while (T–)
- {
- cin>>n>>m;
- solve();
- if (sg[n]) puts(“Grass”);
- else puts(“Rabbit”);
- }
- return 0;
- }
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))