NOIP2014普及组复赛子矩阵解题报告

【题目描述】

给出如下定义：

1.子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。

 

2.相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3.矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

【输入格式】

第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

【输出格式】

输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

【输入样例1】

5 5 2 3

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

【输出样例1】

6

【样例说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

其分值为|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入样例2】

7 7 3 3 

7 7 7 6 2 10 5

5 8 8 2 1 6 2

2 9 5 5 6 1 7

7 9 3 6 1 7 8

1 9 1 4 7 8 8

10 5 9 1 1 8 10

1 3 1 5 4 8 6

【输出样例2】

16

【样例说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8

9 8 8

5 8 10

【数据说明】

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

【算法分析】

n 和 m 都不超过 16，可以用 16 位二进制数来表示一行是否被选用（列也可以）。在选定若干行后，再看选列的最优方案。暴搜的时间复杂度O(C(16,8)∗(C(16,8)+m³))≈10⁸，显然会超时。

但是如果只枚举行或者只枚举列，再结合状态动规算法还是可以的。

对于多维问题，容易想到的方法是降维。

//新华信奥:因程序的复杂，转换的代码不保证能直接编译运行
//也不能保证成功率百分百，仅做学习参考，部分代码可略做修改后运行

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int i,j,k,n,m,n1,m1,ans;
matrix<0,16,0,16,int> dp,a,f;
matrix<0,16,1,16,1,16,int> hc;
int  b,lc[17+ 0];
int Min(int a,int b)
{

  int Min_result;
  if (a>b)  Min_result=b;
  else Min_result=a;
  return Min_result;
}
void ddp()
{

  int i,j,k,Max;

  fillchar(f,sizeof_(f),0);
  fillchar(lc,sizeof_(lc),0);
  fillchar(dp,sizeof_(dp),0);
  for( i=1; i <= m; i ++)
    for( j=1; j <= n1-1; j ++)
      lc[i]=lc[i]+abs(a[b[j+1]][i]-a[b[j]][i]);
  for( i=1; i <= m; i ++)
    for( j=i+1; j <= m; j ++)
      for( k=1; k <= n1; k ++)
        f[i][j]=f[i][j]+hc[b[k]][i][j];
  for( i=1; i <= m; i ++)
    dp[i][1]=lc[i];
  for( i=2; i <= m; i ++)
    for( j=2; j <= m1; j ++)
      if (i>=j)
      {
        dp[i][j]=Maxint;
        for( k=j-1; k <= i-1; k ++)
          dp[i][j]=Min(dp[i][j],dp[k][j-1]+lc[i]+f[k][i]);
      }
  for( i=m1; i <= m; i ++)
    if (dp[i][m1]=0)
    if (b[ii]>(n-n1+ii))
    {
      jw(ii-1);
      b[ii]=b[ii-1]+1;
    }
}
int main()
{
  cin >> n >> m >> n1 >> m1;
  for( i=1; i <= n; i ++)
    for( j=1; j <= m; j ++)
    {
      cin >> a[i][j];
      for( k=1; k <= j-1; k ++)
        hc[i][k][j]=abs(a[i][j]-a[i][k]);
    }
  for( i=1; i <= n1; i ++)
    b[i]=i;
  ans=100000000;
  while (b[0]==0)
  {
    ddp();
    jw(n1);
  }
  cout<< ans;
  system("pause");
  return 0;
}