343. 整数拆分

343. 整数拆分

1.题目描述

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:

示例 2:

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

2.方法1（动态规划）

动态规划，转移方程：$result[i]=max(result[i],max(j\ast result[i-j],j\ast (i-j)))$
$j\ast (i-j)$表示的是将i分成两份
$j\ast result[i-j]$表示的是将$i$分成 $j$ 和$i-j$所取得最大乘积的分法。

3.代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2;i <= n;++i){
            for(int j = 1;j < i;++j){
                dp[i] = max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

4.复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n)

5.方法2（数学法）

当两个整数尽量平分n的时候，两个整数的乘积才能达到最大，（比如，当n = 10时，分成两份，必定是5， 5。当n = 11时，分成两份，必定是5、6）
推广：
将n 分成cnt份（cnt <= n），必定是(n % cnt) 个 （n / cnt + 1）和 (cnt - n % cnt )个 (n / cnt)乘积最大。（其中n / cnt是表示均分所得，n % cnt是表示均分成cnt份后多出的1个数，再分给其中 n % cnt 个 n / cnt）（比如，n = 10，求分成cnt = 3份的最大乘积。均分所得 num = n / cnt = 3, 多出的1的个数 为 n % cnt = 1, 再将多出的1分配到其中均分所得的元素中，n / cnt + 1）

6.代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        int res = 0;
        for(int i = 2;i <= n;++i){
            int numCount = n % i;//多出1的个数
            res = max(res,(int)(pow(n/i,i-numCount)*pow(n/i+1,numCount)));
        }
        return res;
    }
};

7.复杂度分析

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)