高数 01.03函数的极限

第三节函数的极限 

在上一节我们学习数列的极限，数列x n 可以看作自变量为n的函数：x=f(n),n∈N + ，所以，数列x n 的极限为a，就是f(n)无限接近于某一个确定的数a，把数列极限概念中的函数为f(n)而自变量的变化过程为n→∞等价性撇开，就可以引出函数极限的一般概念。 
在自变量的某一变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限也就表现为不同的形式。 
数列的极限看作函数f(n)当n→∞时的极限，这里的自变量的变化过程是n→∞.而函数极限的自变量的变化为： 
对于y=f(x),自变量变化过程的六种形式：(1)x⟶x 0 (4)x⟶  ∞(2)x⟶x + 0 (5)x⟶+∞(3)x⟶x − 0 (6)x⟶−∞ 

一、自变量趋于有限值时函数的极限 

1.x⟶x 0 时函数极限的定义 
引例.测量正方形的面积(真值：边长为x 0 ;面积为A) 
确定直接观测值进度δ:|x−x 0 |<δ任意精度ε,要求|x 2 −A|<ε 

定义1.设函数f(x)在点x 0 的某个去心邻域内有定义，若∀ε>0,∃δ>0,当0<|x−x 0 |<δ时，you|f(x)−A|<ε,则称常数A为函数f(x)当x⟶x 0 时的极限，记作lim x→x 0  f(x)=A或f(x)→A(当x→x 0 )即lim x→x 0  f(x)=A⟺∀ε>0,∃δ>0,当x∈U ° (x 0 ,δ)时，有|f(x)−A|<ε 

极限存在，函数必须局部有界。

例1.证明lim x→x 0  C=C(C为常量) 
证： |f(x)−A|=|C−C|=0故∀ε>0,对任意的δ>0,当0<|x−x 0 |<δ时，总有|C−C|=0<ε因此lim x→x 0  C=C 

例2.证明 lim x→1 (2x−1)=1 
证： |f(x)−A|=|(2x−1)−1|=2|x−1| 
∀ε>0,欲使|f(x)−A|<ε,只要|x−1|<ε2 ,取δ=ε2 ,则当0<|x−1|<δ时，必有|f(x)−A|=|(2x−1)−1|<ε因此lim x→1 (2x−1)=1 

例3.证明 lim x→1 x 2 −1x−1 =2 
证： |f(x)−A|=|x 2 −1x−1 −2|=|x+1−2|=|x−1| 
故∀ε>0，取δ=ε,当0<|x−1|<δ时，必有|x 2 −1x−1 −2|<ε 
因此 lim x→1 x 2 −1x−1 =2 

2.保号性定理
定理1.若lim x→x 0  f(x)=A，且A>0(a<0)，则存在U ° (x 0 ,δ),使当x∈U ° (x 0 ,δ)时，f(x)>0(f(x)<0). 

证：已知lim x→x 0  f(x)=A,即∀ε>0,∃U ° (x 0 ,δ),当x∈U ° (x 0 ,δ)时，有A−ε<f(x)<A+ε. 
当A>0是，取正数ε≤A,则在对应的邻域U ° (x 0 ,δ)上f(x)>0. 
当A<0是，取正数ε≤−A,则在对应的邻域U ° (x 0 ,δ)上f(x)<0. 

推论：若lim x→x 0  f(x)=A≠0,则存在U ° (x 0 ,δ),使当x∈( ° x 0 ,δ)时，有|f(x)|>|A|2 . 

定理2.若在x 0 的某去心邻域内f(x)≥0(f(x)≤0),且lim x→x 0  f(x)=A,则A≥0(A≤0). 
证：用反正法。当f(x)≥0时，假设A<0,则由定理1，存在x 0 的某个去心邻域，使在该邻域内f(x)<0,与已知条件矛盾，所以假设不真，故A≥0 
同样可证f(x)≤0的情形 

思考：若定理2中的条件改为f(x)>0,是否必有A>0? 
不能！如lim x→0 x 2 =0 

3.左极限与右极限
左极限：f(x − 0 )=lim x→x − 0  f(x)=A 
⟺∀ε>0,∃δ>0,当x∈(x 0 −δ,x 0 )时，有|f(x)−A|<ε. 
右极限：f(x + 0 )=lim x→x + 0  f(x)=A 
⟺∀ε>0,∃δ>0,当x∈(x 0 ,x 0 +δ)时，有|f(x)−A|<ε. 
定理3. lim x→x 0  f(x)=A⟺lim x→x + 0  f(x)=lim x→x − 0  f(x)=A 

例4.设函数
f(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x−1, x<00   , x=0x+1, x>0  
讨论x→0时f(x)的极限是否存在。 

解：利用定理3.因为

 lim x→0 −  f(x)=lim x→0 −  (x−1)=−1lim x→0 +  f(x)=lim x→0 +  (x+1)=1显然f(0 − )≠f(0 + ),所以lim x→0 f(x)不存在。  

二、自变量趋于无穷大时函数的极限 

定义2.设函数f(x)当|x|大于某一个整数时有定义,若∀ε>0,∃X>0,当|x|>X时，有|f(x)−A|<ε,则称常数A为函数f(x)当x→∞时的极限，记作 
lim x→∞ f(x)=A或f(x)→A(当x→∞) 
x<−X或x>XA−ε<f(x)<A+ε 

直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线 

例6.证明lim x→∞ 1x =0. 
证：|1x −0|=1|x| 故∀ε>0,欲使|1x −0|<ε,即|x|>1ε ,取X=1ε ,当|x|>X时，就有|1x −0|<ε因此lim x→∞ 1x =0 
注：y=0为y=1x 的水平渐近线. 

一般地，如果lim x→∞ f(x)=c，则直线y=c就是函数y=f(x)的水平渐近线. 

两种特殊情况：
lim x→+∞ f(x)=A⟺∀ε>0,∃X>0,当x>X时,有|f(x)−A|<ε 

lim x→−∞ f(x)=A⟺∀ε>0,∃X>0,当x<−X时,有|f(x)−A|<ε 
直线y=A仍然是曲线y=f(x)的渐近线. 
例如，f(x)=1x  √  ,g(x)=11−x − − − − −  √  都有水平渐近线y=0; 
又如，f(x)=1−2 −x ,g(x)=1+2 x 都有水平渐近线y=1. 

内容小结
1.函数极限的“ε−δ”或“ε−X”定义及应用 
2.函数极限的性质：保号性定理Th1、Th2与左右极限等价定理Th3 

思考与练习
1.若极限lim x→x 0  f(x)存在，是否一定有lim x→x 0  f(x)=f(x 0 )? 

2.设函数f(x)={ax 2 ,x≤12x+1,x>1 且lim x→1 f(x)存在，则a=  3   − − −   
∵左右极限相等，且2x+1在1处极限是3，所以a=3