鸽巢原理以及Ramsey定理详解

简单形式：

 定理：如果有n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个和紫包含两个或者更多的物体。

 

定理非常的简单，但是真正用好这个定理却需要一定的功底。

eg1.以为国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至少下一盘国际象棋，但是为了不使自己过于疲劳，他还决定在每周不能下超过12盘。证明存在连续若干天，期间这位大师恰好下了21盘棋。

 证明：

 鸽巢原理的应用最终就是要找到物体和盒子，并且保证物体的数量要比盒子的数量多。

 令a1是第一天所下的盘数，a2是第一天和第二天下所下的盘数，以此类推，从而当想知道第n+1到第m天之间的盘数，只需要用am-an就能求出来了。（这里你是否看到了树状数组的影子）

 所以 1<=a1<=a2<=........<=a77<=132

 所以22<=a1+21<=a2+21<=.......<=a77+21<=153

 于是这154个数在1到153之间，运用鸽巢原理,必然存在ai = aj+21。

 即 ai - aj = 21，从第 j+1 天到第 i 天共下了21盘棋。

 

加强形式（可以转换成平均原理）：

 令q1,q2.......qn为正整数。如果将

        q1+q2+......+qn+n-1

 个物体放入n个盒子，那么，或者第一个盒子至少含有q1个物体，或者第二个盒子至少含有q2个物体，.............或者第n个盒子至少含有qn个物体。

eg2.证明每个由n^2+1的实数构成的序列a1,a2,............a(n^2+1)或者含有长度为n+1的递增子序列或者含有长度为n+1的递减子序列。

这里的证明比较复杂，就不给出了

 

Ramsey定理：

一个比较流行的理解是：

在6个（或更多）的人中，或者有3个人，他们中的每两个人都相互认识，或者有3个人，他们没两个人都相互不认识。

推广为较一般的形式：

 Kp -->Km, Kn

 即表示：对于给定的m和n，存在一个整数p，使得如果Kp的边数被涂成红色或者是蓝色，那么或者有一个红色的Km，或者有一个蓝色的Kn。

平凡Ramsey数：

 r(2, n) = r(n ,2) = n

一些非平凡Ramsey数：

 r(3, 3) = 6

 r(3, 4) = 9

 r(3, 5) = 14

 r(3, 6) = 18

 r(3, 7) = 23

 r(3, 8) = 28

 r(3, 9) = 36

 40<=r(3, 10)<=43

 r(4,4) = 18

 r(4,5) = 25

 43<=r(5,5)<=55

 

在推广为更为一般的形式，我们把其中的点对看成是有t个元素构成的子集，当t 等于1 的时候，即是上面的那种形式：

                   令K(t,n)表示n个元素的集合众所有的t 个元素的子集的集合。

Ramsey定理：

 给定一个整数t>=2及整数q1,q2,.......qk>=t ，存在一个整数p，使得

 K(t, n) --> K(t, q1)m, K(t, q2), ...........K(t, qk)

并且

r1(q1, q2, .........qk) = q1+q2+.........+qk-k+1 （鸽巢原理的加强形式）

 

 

下面有几道很有意思的题：

1.用鸽巢原理证明，有理数m/n展开的十进制小数最终都是要有循环的。例如：

                     34 478/99 900 = 0.345 125 125 125 ............

 证明：这里我没有想出用鸽巢原理的解法，但是想到了另一个解法，如果有读者想到了的话，欢迎留言讨论。

 首先这里m/n肯定是不能整除的，不能整除等价于当我们把m和n进行约分后，两者必然互质，即两者的最大公约数为1，即可以写成：

                am + bn = 1

 说明m/n最后肯定可以表示为 1/n 的形式，又因为 n 的因子不存在2和5（除法时，分子会乘以10，所以就约掉了2和5）。所以必然有：

              a*10^x + bn = 1

 这里我们找到了一个循环，从而证明了有理数m/n展开的十进制小数最终是要有循环的。

 

 

2.一个屋子内有10个人，他们当中没有人超过60岁，但是又至少不低于1岁。证明，总是能找出两组人，各组人的年龄和相同的。

 证明：

 1<=a1<=a2<..................<=a1+a2<=..........<=a1+a2+a3+....a10<=600

 共有1023种组合，所以必然存在。

总结：

对于鸽巢原理的核心就是：找到“盒子”以及“物品”，并且保证物品的“数量”要多于“盒子”