动态规划入门—例题理解

动态规划入门—例题理解

 

目录

例题：抢劫街道

递归实例：

例题：小兵向前冲

上楼梯问题：

寻路算法

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动态规划（dynamic programming）

前提：递归，暴力搜索

通过例题理解动态规划…

例题：抢劫街道

小偷抢劫一条街道的各家，要求不能抢劫相邻两家，否则触发警报，问如何抢劫可以得到最多钱财。

先暴力方法（暴力方法是解决一切问题的方法）-----------à一定是递归 Public int solve(int idx,int[] nums);//输入抢到第几家，与各家的钱数；输出抢到的钱数 边界条件         if(idx<0) return 0; 做决策：抢-------------获得钱数；失去：不能抢下一家                   不抢-----------获得下一家的钱数 选出决策中的最大值 Math.max(nums[idx]+slove(idx-2,nums), solve(idx-1,nums))           全局最优化

从n开始，是一种习惯

时间复杂度：太高

重叠子问题：

去冗余----------------------空间换时间

Idx从n-1开始--à(n-3, n-4, n-5…….)

Idx从n-2开始--à(n-4, n-5……..)

如何优化算法--à减少重复计算

If(idx 算过)

      直接返回结果；

解决方法：开一个数组存已经算过的索引idx的抢到的钱数 result[]

初始化数组全为-1.

If(result[idx]>=0)

      Return result[idx];

其中，数组后面的赋值result[idx] = Math.max(nums[idx]+slove(idx-2,nums), solve(idx-1,nums))；

后效性

贪心-----------------贪心天生没有后效性

归属于动态规划的题型:

套路：最大 最小 最优 最长 计数

离散问题：背包问题

最优子结构：N-1可以推导出N

基本步骤

1. 设计暴力算法，找到冗余
2. 设计并存储状态（一维 二维 三维数组 map）
3. 递归（函数 自调用）/递推（公式 for循环）
4. 自底向上（n开始）/自顶向下（0开始 需要考虑前几个idx的值取值） 计算最优解

递归实例：

斐波那契数列:F(n) = F(n-1) + F(n-2);

N！:        F(n) = F(n-1) *n;

例题：小兵向前冲

N*M的棋盘  小兵从左下角->右上角 只能向上向右 问有多少种走法

套路：计数问题

解题思路：暴力搜索（回溯法 递归 搜索）

                   输入（n, m）

决策：

???原问题与子问题的关系

F(n, m)：在n*m棋盘上已经到达右上角时的走法有多少种--------它是有哪些子问题可以推导出来呢？

(n-1, m)向右走+ (n, m-1)向上走

所以： F(n, m) = F(n-1, m) + F(n, m-1);

考虑边界条件：if(n==0 || m==0) return 0;

                              If(n==1 || m==1) return 1;

拓展:

组合数递推公式C(n,r)----------------- 区分-通项公式

    边界条件： if(r==0)

                         If(n

         决策：nCr(n, r) = nCr(n-1, r-1) + nCr(n-1, r);-----------------类似小兵走斜线（斜上）与向上

全排列递推公式

添加限制条件：

小兵在棋盘上的某格不能走---------------在那一个添加的走法种类为0

小兵可以在一个方向上走一步或两步F(n, m) = F(n-1, m) + F(n, m-1)

                                                                              +F(n-2, m) + F(n, m-2)

小兵可以在一个方向上走k步

F(n, m, k)

上楼梯问题：

一步可以跨一级或两级，要上到n级，有多少种走法

F[n] = F[n-1] + F[n-2]

F[n] = F[n-1] + F[n-2] + F[n-3] +…+ F[n-k] 

寻路算法

单元最短路

双元最短路

其他：

八皇后问题

练题网址~Littlecode？？