2009,马其顿数学奥林匹克

设正实数 $a、b、c$ 满足 $ab+bc+ca=\frac{1}{3}.$ 证明：

$$\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ac+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge \frac{1}{a+b+c}$$

证明

\qquad 等式右边的分母显然为正数.
\qquad 由柯西不等式得
\qquad $\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ac+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}=\frac{a^2}{a^3-abc+a}+\frac{b^2}{b^3-abc+b}+\frac{c^2}{c^3-abc+c}$

\qquad $\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{a^3+b^3+c^3+a+b+c-3abc}=\frac{(a+b+c{)}^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(a+b+c)}$

\qquad $=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+1}=\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\frac{1}{a+b+c}.$

\qquad 命题得证.