组合数学之隔板法

转自隔板法详解

理解隔板法

【定义】
隔板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。

应用隔板法必须满足3个条件： 　　
（1） 这n个元素必须互不相异；
（2） 所分成的每一组至少分得1个元素；
（3） 分成的组别彼此相异。

【公式】
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？

C（n-1，m-1）=C(9.2)

接下来才是重点。

【隔板应用】

普通隔板法

例1. 求方程 x+y+z=10的正整数解的个数。

分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C(n-1,m-1)=C（9，2）=36（个）。

添元素隔板法

例2. 求方程 x+y+z=10的非负整数解的个数。

分析：注意到x、y、z可以为零，故例1解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各添加一个球，这样原问题就转化为求 x+y+z=13的正整数解的个数了，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？易得解的个数为C（n+m-1,m-1）=C（12，2）=66（个）。

例3： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ C(8,2）=28

例4. 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。（减少球数用隔板法）

分析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有C（13，3）=286（种）。

例5：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b<=9 ,且a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1代表9个1，-代表8个空位
我们要把9个1分成两组，但b可以为0，我们先给b一个1，然后就相当于10个小球放入两个（a，b）不同的箱子，每一个箱子至少放一个，C（9，1），但这是错误的，为什么？因为1不一定要全部放入。其实解决这个问题可以这么想，我们在引进一个盒子c来放ab取完剩下的1，所以报证c中球数大于0，所以要在增加一个球，题目就等价于，11个小球放入两个（a，b）不同的箱子，每一个箱子至少放一个，所以一共有 c（10，2）=45 .

添板插板法

例5另一种解法：

显然a+b<=9 ,且a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位 （第一个没有因为a不能为0），我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c（10，2）=45

添板插板法就是添元素隔板法的变形。

选板法

例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o – o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 2^9= 512啦

分类插板

例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ C（10， 1）=10
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? C（8 ，2）=28
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c（6 ，3）=20
所以一共是 2+10+28+20=60 种

逐步插板法

例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是 c（7, 1）×c(8, 1)×c(9 ,1)=504种

几个思维含量的例题：

1.[ZOJ3557]How Many Sets II

给一个集合，一共个元素，从中选取个元素，选出的元素中没有相邻的元素的选法一共有多少种？

这道题是插板法的经典应用
首先我们拿出m个小球，还剩下n-m个小球。这n-m个小球一共有n-m+1个空（左右两边也可以），把这m个小球插入到这n-m+1个空里就是答案，即
这m个小球的编号取决于它插入的位置，所以和选哪个小球没关系

2.hdu 3037 Saving Beans

有n个不同的盒子，在每个盒子中放一些球（可以不放），使得总球数≤m,求方案数（mod p）

第一种方法：

设最后放了k个球，根据"隔板法"由方案数C(k+n-1,n-1),:
ans=C(n-1,n-1)+C(n,n-1)+C(n+1,n-1)+……+C(n+m-2,n-1)+C(n+m-1,n-1)
=C(n+m,n);(mod p)

第二种方法：

这个题和原来不一样的地方：总球数≤m，一般我们就是总球数就是m，所以我们可以增加一个盒子，现在n+1个盒子，现在假设就要放m个球，n来来放k个球，剩下的m-k就放在那个我们增加的盒子里，这样n个盒子的组合球数就是我们要求的，所以题目等价于m个球放入n+1个盒子中，盒子有里球数可以为0，添元素插板法，每一个盒子都增加一个球，即m+n+1个球放入n+1个盒子，c（m+n，n）为答案。