算术基本定理

因为毕设要求，需要对这些初等数论的知识学习，做个笔记，以便日后复习。

算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=这里均为质数，其中指数是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。最早证明是由欧几里得给出的，现代是由陈述证明。此定理可推广至更一般的交换代数和代数数论。

方法一：先用现代陈述方法证明该定理

待证命题：大于1的自然数必可写成质数的乘积。

用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。即：n=a*b，a和b都不是质数

非零自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n大于1。其次，n不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p*1，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个小于自身而大于1的自然数的积。设其中a和b都是介于1和n之间的自然数且a,b都是合数，因此，按照n的定义，a和b都可以写成质数的乘积，比如, ，其中都是质数，从而n也可以写成质数的乘积形式。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。