指数函数(复利)特性及个人发展

目录

  • 什么是指数函数
    • 指数函数定义
    • 指数函数特点
    • 指数函数的“拐点”
  • 什么是复利
    • 复利公式
    • 复利效应
      • 1 未来急速增长,前期不明显
      • 2 基数非常重要
      • 本金也很重要
  • 复利的思考
    • 学习领域
    • 工作领域
    • 投资领域
    • 复利效应的人生规划

什么是指数函数

指数函数定义

这个问题有点太小儿科了,上过学的都知道。为了文章的自封闭,还是写出来吧。
f ( x ) = b x f(x)=b^x f(x)=bx
这就是指数函数的定义形式,其中b为底数或者基数,x为指数。
有人可能奇怪,为什么基数用字母b,而不用字母a?其实用谁都无所谓,只是为了摘取维基百科图像描述一致。

指数函数特点

指数函数(复利)特性及个人发展_第1张图片摘自https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Expo02.svg

上图有4条曲线,只关注x>0的部分,可以发现,比较大的b,函数值增长的更快。
下图使用FooPlot在线函数绘图工具绘制。
指数函数(复利)特性及个人发展_第2张图片
这个图就和复利有很大的关系了,等到后面解释复利的时候,读者再仔细看这个图。

指数函数的“拐点”

从数学角度讲,指数函数本没有拐点,但是大家从曲线上明显可以看出,从某个位置开始,曲线急速增长,一般认为这个开始急速增长的点就是拐点。
我认为这个拐点是曲线曲率最小值的点。以1.1^x函数为例。
关于曲率,读者可以看这个知乎专栏如何简明地解释曲率(curvature)?
指数函数(复利)特性及个人发展_第3张图片
从图中可以看出,从第21年开始,曲率已经进入最小阶段,也就是说指数函数进入快速增长阶段。

什么是复利

复利公式

复利就是重复利息,也叫“利滚利”、“驴打滚”等。
举个例子,比如老张有10万元,借给了一个人,利息是10%。到了第一年末,老张会有10(1+10%)=11万元。第二年,老张再把钱借出去,利息还是10%,那么第二年末老张会有11(1+10%)=12.1元。依次类推,第x年,老张会有
10 ∗ ( 1 + 10 % ) x 10*(1+10\%)^x 10(1+10%)x
元。
公式后半部分就是指数函数。

下面内容摘自维基百科。
指数函数(复利)特性及个人发展_第4张图片

复利效应

从指数函数的曲线可以看出来,复利效应有两个。

1 未来急速增长,前期不明显

复利效应的开始阶段,数值增长很缓慢,比如老张的10万,在第8年才变成21.44万,可是到16年变成45.95万,到第24年,变成98.50万元,到第32年,数字变为211.14万。也就是说,老张30岁用10万元投资,前8年才挣11.44万,平均每年也就1.43万;前16年增值35.95万,每年2.25万,前24年,增值88.5万,平均每年3.69万;前32年,增值201.14万,每年6.29万,而从24年到32年的这八年,每年增值14万元。是前8年的10倍。

2 基数非常重要

这次仔细看这个图。
指数函数(复利)特性及个人发展_第5张图片
从3个曲线可以看出,如果年增值率为0.01,即10万投资,一年增值1000元,那么对应的是最下面的曲线,可以看出,90年后,增值也没有多少,也就2.45倍。
而,如果每年增值10%,那么到90年,将是5313倍,即便是到第30年,也有17.45倍。

本金也很重要

由于本金在复利计算中是线性关系,看起来没有基数那么重要,但是,如果本金差别比较大,可以减少到达目标金额的时间。
比如,两个人的财务自由的目标是1000万(未来的1000万也干不了啥)。穷人A有本金10万,富二代B有本金100万,两个人的增值率都是10%,那么A需要48.32年,而B需要24.16年,即只需要A的一半的时间。

复利的思考

再看看复利公式
在这里插入图片描述
这里边有3个参数,PV,i和n。PV是当前状态,i是增值率,n是多少个周期(以下都以年为单位)。

学习领域

PV表示当期掌握的知识,i表示每年学习多少新知识,n表示多少年。
根据复利效应可以发现,大家学习的开始阶段,好几年都没有突破,忽然有一年,感觉很多知识融会贯通,豁然开朗,这就是复利效应的体现。

工作领域

比如某人做销售工作,前几年人脉、渠道增长缓慢,可是到了某些年头后,忽然感觉生意很好做了。也是这个道理。

投资领域

投资的前几年虽然有收益,但是感觉收益的很少,没啥意思,有些持续坚持的人,到了多年以后,忽然发现,每年的收益相当可观,如果恰逢牛市开启,在哪些空仓者后悔不跌时,坚持的人每天都有大肉小肉吃。

复利效应的人生规划

假如人生的阶段是一条指数曲线,那么我们应该在学习阶段(最起码到大学毕业)打好基础,得到尽可能大的PV;工作阶段,坚持学习、好好工作、做点投资,有尽可能大的基数i;这样在中老年的时候(当n很大时)才会有很好的生活状态。

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