[模板]二进制状态压缩DP模板（详解

题目：

在 n*n(n≤20)的方格棋盘上放置 n 个车(可以攻击所在行、列)，求使它们不能互相攻击的方案总数。

思路：

根据组合数学很明显是n！（n的阶乘）

我们把二进制中的 1 看做放了一个车，0 作为不放；

整个模板我们以n = 5的5*5的矩阵为例子

①开个for：1 to (1<

为什么是(1<

一开始for循环是一行一行找，找到最后每一列都有车，显然这就是我们要找的最终状态；

介于我一开始对二进制的减法也一脸懵逼，这里也讲讲；

我先举个十进制的例子，81-9=

8 1 由于被减数的个位1<减数的个位9， 7, 11

-    9 所以我们向被减数的十位8借位，-     9

———— 左边的竖式可以写成右边这种；—————

72    72

没错，所有进制的减法都是这样，关键就在一个“借位”上，我再举一个二进制的例子：11000011-101101=

是几进制就借几，比如十进制个位要向十位借，个位+10，十位-1；比如二进制10-1，就是低位0向高位1借2，0+2=2,1-1=0，形如02-1=1；

②然后考虑列，每一列只能有一个车，也就是说由当前情况往前找时，只要记录下哪一列有车，然后不去找他就可以了，这一点可以由位运算s & (1<<(i-1))实现；

相信很多刚开始接触的人跟我一样懵逼，这些位运算都是啥啊，根本看不懂啊，所以我们举个例子来解释一下：

先上一个流传很广的图：

这个图是这样的，我们设一个状态 s=01101，就表示第一、三、四列（从低位开始）已经放置了车；

由于我们是一行一行放的，所以在s状态我们应该放第三行了，那第三行我们应该放在哪呢，或者说状态s由哪些状态来的呢？就由上图来解答。

状态s(01101)由三种状态（必然是前两行的状态）来的： 前两行在三、四列放了车，第三行只好放在第一列；(01100)

  前两行在一、四列放了车，第三行只好放在第三列；(01001)

前两行在一、三列放了车，第三行只好放在第四列；(00101)

（蓝绿代表前两行的方案数，如果不懂这个我们后面解释）

无非就是这三种情况，现在我们来考虑怎么来表示状态s由这三种状态来的，还记得我们前面说的“s & (1<<(i-1))”吗，靠他实现；

如果对位运算不熟，先来打打位运算的基础：

and 运算&相同位都为1，则为1；若有一个不为1，则为0
or 运算| 相同位只要一个为1即为1
xor 运算^ 相同位不同则该位为1, 否则该位为0
not 运算~ 把0和1全部取反
shl 运算<< a< shr 运算>> a>>b就是把a转为二进制后右移b位（即去掉末尾b个位），相当于a除以2的b次方（取整）

s=01101 由 01100、01001、00101三个状态来的，观察可以发现这个三个状态对应01101分别在一、三、四列少一个1；

所以我们可以设想，只有第i列有车的状态（10000、01000、00100、00010、00001）与s=01101进行某种操作，使我们可以得到这三种状态（即得到此列是否可以放车），这就是 s & (1<<(i-1)) 的作用（&优先级大于&，注意用()括起来）；

带大家走一遍，for(i: 0 to 4)

01101 & (1<<0) = 01101 & 1 = 00001

01101 & (1<<1) = 01101 & 10 = 00000

01101 & (1<<2) = 01101 & 100 = 00100 

01101 & (1<<3) = 01101 & 1000 = 01000

01101 & (1<<4) = 01101 & 10000 = 00000

我们可以清楚的看出来了，只有和s=01101有1重合结果才大于0，可以根据这个特性判断此列是否可以放车；

注意了，i对应列，(i-1)对应位置；

③f[s]表示在状态S下的方案数，状态s是二进制，注意边界条件f[0] = 1;

④如果满足 s & (1<<(i-1)) 条件，即第i列可以放车，我们又看到了新的位运算temp = s ^ (1<<(i-1))，我们来走一遍，由 s & (1<<(i-1)) 确定只有一、三、四列满足情况

01101 ^ (1<<0) = 01101 ^ 1 = 01100

01101 ^ (1<<2) = 01101 ^ 100 = 01001

01101 ^ (1<<3) = 01101 ^ 1000 = 00101

没错，由 s & (1<<(i-1)) 确定了我们一直想找的s=01101的三个状态；

⑤f[s] += f[temp];

在②中我不是说蓝绿代表前两行的方案数，这什么意思呢，解释下

推广状态s，那么f[s] = Σf[s ^ (1<<(i-1))]，其中i是枚举的状态s中每一个1的位置（从低位到高位）。
边界条件：f[0] = 1。
输出f中所有状态的方案数，按照S中1的个数分类：
0:1                                    0!
1:1 1 1 1 1                        1!
2:2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         2!
3:6 6 6 6 6 6 6 6 6 6         3!
4:24 24 24 24 24              4!
5:120                                5!

（ 上表来自大神）

我一开始看觉得很奇怪啊，为什么这么多2这么多6，是干嘛呀，其实是这样的：

以2: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2         2!为例：“有两个1的情况”中有C52（从五列中任选两列）=5*4/(2*1) = 10种状态（所以有10个2），而每种状态有2!（阶乘）种方案，如果再问为什么，看看上面那个图，蓝绿代表前两行的一种状态的方案数；

那 s=01101怎么看呢，他不过就是“有三个1的情况”的10个状态中的一种，只不过此s状态又由 01100、01001、00101三个子状态得来罢了（都用了“状态”两字，可能容易混淆，仔细看）；

所以f[s] += f[temp]很好理解了吧，以s=01101为例，f[13] += f[12] + f[9] + f[5] = 2 + 2 + 2 = 6，即01101状态有六种方案数，看下图理解一下：

代码：

#include 
#include 
using namespace std;
/*
出现“已停止工作”的情况，编译成功，但无法运行
应该把f[1<<21]挪到主函数外面做全局变量
*/
int f[1<<21];
int main()
{
    int n, temp;
    int s, i;

    scanf("%d", &n);
    f[0] = 1;//边界条件
    for(s = 1; s <= (1<

反思：

在把f[1<<21]开在主函数内时，出现“已停止工作”的情况，编译成功，但无法运行；

经过探索发现这种情况叫“栈溢出”，局部变量是在栈上分配空间的，栈默认大小一般为1-2M，int f[1<<21]的大小为2^21(2,097,152) ≈ 2.1^1,000,000，2M多一点，编译连接时不会有问题，但运行时由于栈溢出，程序异常终止；而全局变量在静态存储区分配内存，理想情况2-3G吧

而栈的大小与不同的编译器有关，栈默认大小一般为1-2M，一旦出现死循环或者是大量的递归调用，在不断压栈的过程中，容易造成栈容量超过1M而导致溢出。

参考博客：http://blog.csdn.net/luqiang454171826/article/details/6133972