学习笔记（1）：《微电子器件》陈星粥（第四版）第1章 半导体物理基础及基本方程
学习笔记（1）：《微电子器件》陈星粥（第四版）第1章 半导体物理基础及基本方程
- 我的前言
- 1.1半导体晶格
- 1.1.1基本的晶体结构
- 1.1.2 晶向和晶面
- 1.1.3 原子价键
- 1.2 半导体中的电子状态
- 1.2.2 半导体中电子的状态和能带
- 1.自由电子的E(k)-k
- 2.周期性势场中的E(k)-k
- 1.2.3 半导体中电子的运动和有效质量
- 1.2.4导体、半导体和绝缘体
我的前言
第3版的《微电子器件》第1章只讲了三大基本方程，并没有涉及半导体物理基础。第4版在第1章加入了半导体物理基础。
虽然说《半导体物理》是《微电子器件》的基础，但是毕竟《微电子器件》才是微电子这个方向的门槛。在我们学习《微电子器件》的时候，可以不用太过深入钻半导体物理的坑。
我觉得这里新增的内容，是对一些名词简要的解释，帮助我们在后面的内容中更好的理解这些名词。
这本书个人感觉偏向于工程应用。
我的笔记初步是为了考试做准备，为了提高效率，我将 “现象→原因→推导→结论 ”的学习过程简化为“现象→原因→结论”。除了刚开始有一些推导过程，其余时候都将省去。
1.1半导体晶格
固体具有无定型、多晶和单晶三种基本类型。
单晶： 在整体范围内都有很高的几何周期性。
多晶： 在许多个原子或者分子的尺度上有序，这些有序化区域称为单晶区域，彼此有不同的大小和方向。单晶区域称为晶粒，他们由晶界将彼此分离。
无定型： 只在几个原子或分子的尺度内存在。
单晶材料的优点在于其电学特性通常比非单晶材料好，因为晶界会导致电学特性的衰退。
常用单晶半导体材料：锗、硅、砷化镓。
非晶和多晶材料在半导体中的应用：
- 非晶硅薄膜晶体管被用来制造驱动大面积液晶显示的电路。
- 多晶硅被用来制作绝缘栅型场效应晶体管的栅电极。
1.1.1基本的晶体结构
看图即可知道，每一个球代表一个原子或者原子团。可形成三种不同结构的晶胞。
半导体硅和锗等具有金刚石晶体结构。什么是金刚石晶体结构呢？即：正四面体。
注：a代表晶格常数
该原子组成的晶胞，有八个原子位于立方体的八个顶角，有六个原子位于六个面中心上，晶胞内部有四个原子。
化合物半导体，例如：GaAs。具有闪锌矿结构。闪锌矿与金刚石结构类似，区别在于闪锌矿中有两类原子。
其中每个镓原子有四个最邻近的砷原子，每个砷原子有四个最邻近的镓原子。
1.1.2 晶向和晶面
我们常用密勒指数描述晶面，求解步骤如下：
- 求出该晶面在三个主轴上的截距，以晶格常数的倍数表示截距值。
- 对这三个值取倒数 和三个值的最小公倍数。
- 三个值的倒数分别乘最小公倍数。
- 得到密勒指数，用圆括号描述（hkl）。
如图（c）,主轴截距为（111），取到数（111），最小公倍数1，得密勒指数（111）。
晶向与晶面垂直，用方括号描述[hkl]，简单来说 晶向 × 晶面 =0。
1.1.3 原子价键
原子之所以能够形成固体是由于原子间有强键存在，而原子间价键或者其他作用力的类型取决于晶体中特定的原子或者原子团。
金刚石结构中原子一般形成共价键，而闪锌矿中不仅有共价键，也有部分是离子性的（Ga正电离子和As正电离子之间的静电吸引）。
1.2 半导体中的电子状态
n度简并： 当n个原子相距很远，尚未形成晶体时，则每个原子的能级和孤立原子一样，他们都是n度简并的。
当n个原子互相靠近结合成晶体后，每个电子都要受到周围原子势场的作用，结果每一个n度简并的能级都分裂成n个彼此相距很近的能级，这n个能级组成一个能带。这时电子不再属于某一个原子而是在晶体中做共有化运动。分裂的每一个能带都称允带，允带之间因没有能级称为禁带。
总结： 多个原子的能级组成能带，能带有多个，能带与能带之间的区域称为禁带。
1.2.2 半导体中电子的状态和能带
研究发现，电子在周期性势场（晶体）中运动的基本特点和自由电子的运动十分相似。 接下来简单介绍一个自由电子的运动。
1.自由电子的E(k)-k
注：可不用看推导过程，直接看两个高亮结论。
一个质量为 m 0 m_{0} m0，速度为 v → \overrightarrow{v} v的自由运动的电子:
{ 动 量 ： p → = m 0 v → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ① 能 量 ： E = 1 2 ∣ p → ∣ 2 m 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ② \left\{ \begin{aligned} 动量：\overrightarrow{p}& = & m_{0}\overrightarrow{v}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot①\\ 能量：E & = & \frac{1}{2} \frac{\left | \overrightarrow{p} \right |^2}{m_{0}}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot② \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧动量：p能量：E==m0v⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅①21m0∣∣∣p∣∣∣2⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅②
德布罗意指出，自由粒子可用频率为 ν \nu ν,波长为 λ \lambda λ的平面波表示：
ϕ ( r → , t ) → = A e i 2 π ( k ⋅ r → − v → t ) \overrightarrow{\phi(\overrightarrow{r},t)}=Ae^{i2\pi(k\cdot\overrightarrow{r}-\overrightarrow{v}t)} ϕ(r,t)=Aei2π(k⋅r−vt)
考虑一维情况，粒子的平面波可表示为：
ϕ ( x → , t ) → = A e i 2 π k x → e − i 2 π ν t = ψ ( x → ) → e − i 2 π ν t ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ③ \overrightarrow{\phi(\overrightarrow{x},t)}=Ae^{i2\pi k\overrightarrow{x}}e^{-i2\pi \nu t}=\overrightarrow{\psi(\overrightarrow{x})}e^{-i2\pi \nu t}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot③ ϕ(x,t)=Aei2πkxe−i2πνt=ψ(x)e−i2πνt⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅③
- A A A:一常数。
- r → \overrightarrow{r} r:空间某点矢径。
- k k k:平面波的波数，等于波长 λ \lambda λ的倒数。
- ψ ( x → ) → \overrightarrow{\psi(\overrightarrow{x})} ψ(x):自由电子的波函数， ψ ( x → ) → = A e i 2 π k x → \overrightarrow{\psi(\overrightarrow{x})}=Ae^{i2\pi k\overrightarrow{x}} ψ(x)=Aei2πkx，代表沿 x x x方向传播的平面波。
- 补充：
k → \overrightarrow{k} k:波数矢量，简称波矢，其大小为 ∣ k → ∣ = 1 / λ \left | \overrightarrow{k} \right |=1/\lambda ∣∣∣k∣∣∣=1/λ,方向与波面法线平行，为波的传播方向。
自由电子能量与平面波频率之间的关系为： E = h ν ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ④ E=h\nu\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot④ E=hν⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅④
自由电子动能与波矢之间的关系为： p → = h k → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⑤ \overrightarrow{p}=h\overrightarrow{k}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot⑤ p=hk⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⑤
- h h h为普朗克常数。
自由电子的波函数 ψ ( x → ) → \overrightarrow{\psi(\overrightarrow{x})} ψ(x)遵守薛定谔方程：
− ℏ 2 2 m 0 d 2 ψ ( x → ) → d x 2 = E ψ ( x → ) → -\frac{\hbar^{2}}{2m_{0}}\frac{d^2 \overrightarrow{\psi(\overrightarrow{x})} }{d x^2}=E\overrightarrow{\psi(\overrightarrow{x})} −2m0ℏ2dx2d2ψ(x)=Eψ(x) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⑥ \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot⑥ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⑥
- E E E:电子能量。
- ℏ \hbar ℏ：约化普朗克常数， ℏ = h 2 π \hbar=\frac{h}{2 \pi} ℏ=2πh
联立①⑤可得 v → = h k → m 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⑦ \overrightarrow{v}=\frac{h\overrightarrow{k}}{m_{0}}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot⑦ v=m0hk⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⑦
联立②③④⑥⑦可得 E = h 2 k → 2 m 0 E=\frac{h^2\overrightarrow{k}^2}{m_{0}} E=m0h2k2
在其他条件一定情况下，波矢 k → \overrightarrow{k} k决定电子能量 E E E，从零到无限大都是允许的。
2.周期性势场中的E(k)-k
单电子近似认为晶体中某个电子实在与晶格同周期的周期性势场中运动的，例如，对于一维晶格，表示晶格中位置为 x x x处的电势为 V ( x ) = V ( x + s a ) V(x)=V(x+sa) V(x)=V(x+sa)。
- s s s为整数。
- a a a为晶格常数。
晶体中电子遵守的薛定谔方程为：
− ℏ 2 2 m 0 d 2 ψ k ( x → ) → d x 2 + V ( x ) ψ k ( x → ) → = E ψ k ( x → ) → -\frac{\hbar^{2}}{2m_{0}}\frac{d^2 \overrightarrow{\psi_{k}(\overrightarrow{x})} }{dx^2}+V(x) \overrightarrow{\psi_{k}(\overrightarrow{x})}=E\overrightarrow{\psi_{k}(\overrightarrow{x})} −2m0ℏ2dx2d2ψk(x)+V(x)ψk(x)=Eψk(x)
- ψ k ( x → ) → \overrightarrow{\psi_{k}(\overrightarrow{x})} ψk(x):晶体中电子的波函数, ψ k ( x → ) → = u k ( x ) e i 2 π k x → \overrightarrow{\psi_{k}(\overrightarrow{x})}=u_{k}(x)e^{i2\pi k\overrightarrow{x}} ψk(x)=uk(x)ei2πkx。
- u k ( x ) u_{k}(x) uk(x):一个与晶格同周期的周期性函数， u k ( x ) = u k ( x + n a ) u_{k}(x)=u_{k}(x+na) uk(x)=uk(x+na)。
得到 E ( k ) 与 k E(k)与k E(k)与k的关系如下图所示：
当 k → = n 2 a → ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ) \overrightarrow{k}=\frac{n}{2\overrightarrow{a}}(n=0,\pm1,\pm2,\cdot\cdot\cdot) k=2an(n=0,±1,±2,⋅⋅⋅)时能量出现不连续（其实我想说其他地方也没连上…但这里是决定边界的地方）,形成一系列允带和禁带。允带出现在布里渊区中，禁带出现在布里渊区的边界上。通过第一布里渊区中的 k k k的值来描述电子的能量状态，得到简约布里渊区曲线。
- − 1 2 a < k < 1 2 a - \frac{1}{2a}
第一布里渊区图：
在第一布里渊区求解薛定谔方程，可得出半导体硅和锗的能带图：
对于任何半导体都存在一个紧致能量区，该区域不存在允许状态，在这一间隙的上方和下方允许有能量区或能带，上面的能带称为导带，下面的能带称为价带。导带的最低能量与价带的最高能量之差称为禁带宽度，用 E g E_{g} Eg表示，导带底记为 E c E_{c} Ec，价带顶记为 E v E_{\mathrm{v}} Ev。禁带宽度为半导体重要参数之一。
1.2.3 半导体中电子的运动和有效质量
在没有外力作用情况下，半导体中电子要受到格点原子和其他电子的作用。当存在外力时，电子所受合力等于外力加上原子核势场和其他电子势场力。而找出原子势场和其他电子势场力的具体形式非常困难，怎么办呢？
我们都知道这么一个公式： F = m a F=ma F=ma,他简单的讲物体受力与加速度联系在了一起。所以我们就想到用有效质 m n ∗ m_{n}^{*} mn∗概括这部分势场。 m n ∗ m_{n}^{*} mn∗有正有负反应晶体内部势场的作用。晶体内电子与外力 F F F通过 m n ∗ m_{n}^{*} mn∗联系在一起而不再涉及内部势场。
以一维情况为例，设能带底位于波数 k = 0 k =0 k=0，能带底部附近的k值必然很小。将 E ( k ) 在 k = 0 E(k)在k =0 E(k)在k=0附近按泰勒级数展开，取至 k 2 k_2 k2项(因为前一项为0)，得到
在极值点 （ d E d k ） k = 0 = 0 （\frac{dE}{dk}）_{k=0}= 0 （dkdE）k=0=0，故
E ( 0 ) E(0) E(0)为导带底能量， E ( 0 ) = E c E(0)=E_c E(0)=Ec。对给定的半导体， （ d 2 E d k 2 ） k = 0 （\frac{d2E}{dk_2}）_{k=0} （dk2d2E）k=0应该是一个定值，令（不知道为啥这么令，可能是为了类比自由电子的 m 0 m_0 m0）
则有：
对比真空中电子能量表达式：
可见半导体中电子与自由电子的 E ( k ) E(k) E(k)~ k k k关系相似，只是半导体中出现的是 m n ∗ m_{n}^* mn∗ ,称其为导带底电子有效质量。
值得一提的是原子核不同壳层电子其有效质量大小不同，比如内层 m n ∗ m_{n}^{*} mn∗较大，外层反之。
1.2.4导体、半导体和绝缘体
对于被电子部分占满的能带，在外电场作用下，电子可从外电场中吸收能量跃迁到未被电子占据的能级去，形成了电流导电，常称这种能带为导带。
绝缘体的禁带宽度很大，激发电子需要很大能量，在通常温度下，能激发到导带去的电子很少，所以导电性很差。半导体禁带宽度比较小，在通常温度下已有不少电子被激发到导带中去，所以具有一定的导电能力。