克莱姆法则简介

克莱姆法则

若n元线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

的系数行列式不等于0，即：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|̸=0$$
则方程组有唯一解，且
$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}$$
其中$D_j(j=1,2,3,..,n)$是将系数行列式中第$j$列用常数项$b_1,b_2,...,b_n$代替后得到的$n$阶行列式。
$$D=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& ...& a_{1,j-1}& b_1& a_{1,j+1}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& ...& a_{2,j-1}& b_2& a_{2,j+1}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& ...& a_{n,j-1}& b_n& a_{n,j+1}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$
当方程组右边的常数$b_j$不全为零时，方程组称为非齐次线性方程组；当$b_1$ = $b_2$ = …$b_n$ = 0时，方程组称为齐次线性方程组。