计算机数学与数学文化-定理

计算机数学与数学文化-定理-2020-5-10

二、极限思想

定理2.1
的充分必要条件是

定理2.2
的充分必要条件是。
这就是说，当与 中有一个不存在或虽然都存在但不相等时，一定不存在。

定理2.3
在自变量的同一变化过程中，如果limf(x)=∞,则lim 1/f(x)=0;反之，如果lim(x)=0,且f(x)恒不为零，则lim 1/f(x)=∞。

定理2.4
函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是函数f(x)在点x0处即左连续又右连续。

定理2.5
基本初等函数在其定义域内都是连续的。
由极限的运算性质可以得到以下关于连续函数的运算性质。

定理2.6
如果函数f(x)和g(x)都在点x0处连续，那么：
(1)f(x) ±g(x)、f(x) . g(x)都在点x0连续;
(2)如果g(x0)≠0，则f(x)/g(x)也在点x0处连续。

定理2.7
设函数y=f(u)在点u0处连续，函数u=φ(x)在点x0处连续，且u0=φ（x0),则复合函数f[φ(x)]在点x0处也连续，即

定理2.8
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

定理2.9
在自变量x的同一变化趋势下(无论x->∞还是x->x0),若有limf(x)=A、limg(x)=B(A,B为常数),则有
(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;
(2)limCf(x)=Climf(x)=CxA(C是常数);
(3)lim[f(x)xg(x)]=limf(x)xlimg(x)=AxB;
(4)lim f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B(B≠0);
(5)lim[f(x)]ⁿ=[limf(x)]ⁿ=Aⁿ。
其中，法则(1)和法则(3)可以推广到有限个函数的情形。
定理中记号lim是或等的略写，前后极限同属一个极限过程。今后该记号不再说明而直接采用了。

定理2.10
(最大值与最小值定理)若函数f(x)是闭区间[a,b]上连续函数，则f(x)在[a,b]上一定能取得最大值和最小值。

定理2.11
(介值定理)若函数f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，不妨设M和m分别是f(x)的最大值和最小值，那么对于满足条件m≤μ≤M的任一数μ，在闭区间[a,b]上至少能够找到一点ξ，使得f(ξ)=μ。
这个定理表明在闭区间上连续的函数可以取地最大值和最小值之间的任何值。
图

定理2.12
(根的存在定理)若函数f(x)是闭区间[a,b]上得连续函数，且两端点函数值f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b)内至少能找到一点ξ,使f(ξ)=0。

定理2.13
(等价无穷小代换)设α~a',β~β',且limα’/β’存在，则limα/β=limα’/β’。

三、变化率思想-导数

定理3.1
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则函数y=f(x)在点x0处一定连续。

定理3.2
如果函数f(x)、g(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、商在点x处也可导，即
[af(x)+bg(x)]’=af’(x)+bg’(x)
[af(x)-bg(x)]’=af’(x)-bg’(x)
[f(x)g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)，特别的，[Cf(x)]’=C.f’(x)
[f(x)/g(x)]’=(f’(x)g(x)-f(x)g’(x))/g²(x)

定理3.3
(链式法则)设函数y=f(u)在u处可导，u=φ(x)在点x处可导，则复合函数y=f(φ(x))也在x处可导，且

四、导数的应用

定理4.1
设f(x)在区间[a,b]上连续的函数来说，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内：
(1)若f’(x)>0,则f(x)单调增加
(2)若f’(x)<0,则f(x)单调减少

定理4.2
(费马定理)设函数f(x)在x0处可导，且在点x0处取得极值，则在点x0处必有f’(x0)=0

洛必达法则
若f(x)与g(x)满足条件
(1)
(2)f(x)与g(x)在点a附件可导，且g’(x)≠0;
(3)为有限值(或∞);

定理4.3
设函数f(x)在区间(a,b)内二阶可导：
(1)若f’’(x)>0,x∈(a,b),则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的；
(2)若f’’(x)<0,x∈(a,b),则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的；

定理4.4
设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b),f’’(x0)=0，且在点x0两侧附件f’’(x)异号，则点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点。
曲线y=f(x)在区间(a,b)内的拐点判定步骤如下。
(1)求出f’’(x)
(2)令f’’(x)=0,求出f’’(x)=0在区间(a,b)内的实根以及f’’(x)不存在的点;
(3)列表判断f’’(x)在这些点左右两侧的符号。

五、不定积分

定理5.1
(原函数存在定理)如果f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上必定存在原函数.

定理5.2
如果f(x)在区间I上存在原函数F(x)，那么F(x)+C仍为f(x)在区间I上的原函数，其中C为任意常数。也就是说，如果f(x)在区间I上存在原函数，则f(x)在区间I上存在无数多个原函数。

定理5.3
如果F(x)和G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数，则
G(x)=F(x)+C(C为任意常数)

定理5.4
(第一类换元积分法)如果f(u)关于u存在原函数F(u),u=φ(x)关于x存在连续导数，则

定理5.5
(第二类换元积分法)如果在积分 中，令x=φ(t),且φ(t)单调可导，φ’(t)≠0,则有

若上式右端可求处原函数F(t),则得第二类换元积分公式:

其中，φ^-1（x)为x=φ(t)的反函数，即t=φ^-1(x)

六、定积分及其运用

定理6.1
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，

则积分上限的函数在区间[a,b]上可导，且

定理6.2
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)在[a,b]上的任一原函数，则

式1称为牛顿–莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式。为了方便起见，以后把式1右端的F(b)-F(a)记为
于是1又可写为

定理6.3
设函数f(x)在区间[a,b]上连续。若函数x=φ(t)满足下列条件:
(1)φ=(α)=a,φ(β)=b;
(2)当t在[α,β](或[β,α])上变化时，x=φ(t)的值在[a,b]上单调变化，且φ‘(t)连续，则有

上述公式称为定积分的换元公式，简称换元公式。

定理6.4
若f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数,则

定理6.5
若f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数，则

七、线性代数

定理7.1
任何一个矩阵A经过一系列初等变化可化成阶梯型矩阵，再经过一系列初等变化可以化成最简形矩阵

定理7.2
任何满秩矩阵A都能经过一系列初等行变换化为n阶单位矩阵E

定理7.3
如果用初等行变换将增广矩阵[A,B]化成[C,D],则方程组AX=B与CX=D是同解方程组。

定理7.4
n元非齐次线性方程组AX=B，=[A,B]为增广矩阵，n为未知数的个数，则:
(1)无解的充分必要条件是r(A));
(2)有唯一解的充分必要条件是r(A))=n;
(3)有无穷多解的充分必要条件是r(A)=r()

定理7.5
n元齐次线性方程组AX=0必有解，且
(1)唯一解(零解)的充分必要条件是r(A)=n;
(2)有无穷多解的充分必要条件是r(A)

八、趣味图论

定理8.1
通常也称为握手定理，由握手定理可以得到以下推论。

定理8.2
无向图G=具有欧拉回路，即欧拉图的充分必要条件是这个图是连通的，并且图G中所有节点的度数都是偶数，即都与偶数条边相连。

定理8.3
无向图G=具有欧拉回路，即欧拉通路的充分必要条件是图G是连通的，并且图G中恰有两个度数是奇数的节点或者没有度数是奇数的节点。

定理8.4
(一笔画定理)如果图中的每个节点都与偶数条边相连，则可以任取一点做始点，一笔画完，回到始点；如果图中只有两个顶点与奇数条边相连，则选择这两个顶点中的一个做始点，一笔画完，终点为另一个与 奇数条边相连的节点。