一篇文章带你快速入门DP动态规划——C++

前言:

博主是一名大一编程小白,因为马上要参加蓝桥杯,所以最近一直在学习动态规划,接下来我将分享我遇到的经典例题和我能力所及的最清晰的代码,并且会逐渐丰富文章内容,分享思路,希望和大家共同进步!

因为内容较多,建议收藏慢慢研究。

学习笔记:

动态规划题目特点
1.计数
    —有多少种方式走到右下角
    —有多少种方法选出k个数使得和为sum
2.求最大最小值
    —从左上角走到右下角路径的最大数字和
    —最长上升子序列长度
3.求存在性
    —取石子游戏,先手是否必胜
    —能不能选出k个数使得和为sum 


动态规划组成部分一:确定状态
    最后一步(最优策略的最后一步)
    化成子问题 
动态规划组成部分二:转移方程
动态规划组成部分三:初始条件和边界情况 
    用转移方程算不出来,需要手工定义
动态规划组成部分四:计算顺序
    利用之前的计算结果    
    一维从小到大(大部分)
    二维从上到下,从左到右(大部分)

常见动态规划类型
    坐标型动态规划
    序列型动态规划
    划分型动态规划
    区间型动态规划
    背包型动态规划
    最长序列型动态规划
    博弈型动态规划
    综合性动态规划

例一    Unique Paths

题目描述:

给定m行n列的网格,有一个机器人从左上角(0,0)出发,每一步可以向下或者向右走一步,问有多少种不同的方式走到右下角?

代码如下:

#include
using namespace std;
void dp(int m,int n)
{
	int f[m][n];
	memset(f,0,sizeof(f)); 
	int i,j;
	f[0][0]=1;
	for(j=0;j

运行结果:

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例二    激光样式

题目描述:

x星球的盛大节日为增加气氛,用30台激光器一字排开,向太空中打出光柱。
安装调试的时候才发现,不知什么原因,相邻的两台激光器不能同时打开!
国王很想知道,在目前这种bug存在的情况下,一共能打出多少种激光效果?

显然,如果只有3台机器,一共可以成5种样式,即:
全都关上(sorry, 此时无声胜有声,这也算一种)
开一台,共3种
开两台,只1种

30台就不好算了,国王只好请你帮忙了。

要求提交一个整数,表示30台激光器能形成的样式种数。

注意,只提交一个整数,不要填写任何多余的内容。

网上摘抄代码如下:


#include 
#include 
#include 
#include 
/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */
using namespace std;
bool get(int x){
	if(x&(x<<1))return false;
	else return true;
}
int main(int argc, char *argv[]) {
	int ans=0;
	for(int i=0;i<1<<30;i++){
		if(get(i)){
			ans++;
		}
	}
	cout<

网上摘抄代码运行结果:

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我的思路:

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我的代码如下:

#include
using namespace std;
int main()
{
	int arr[31];
	int i;
	arr[1]=2;
	arr[2]=3;
	for(i=3;i<=30;i++)
		arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
	printf("%d\n",arr[30]);
 } 

我的代码运行结果:

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疑问:

我直接找到了转移方程和出口,此代码非常简单,有点小学生找规律的味道,不知道如果在蓝桥杯这样写对不对。请大佬指正,感谢!

例三    Unique Paths II

题目描述:

给定m行n列的网格,有一个机器人从左上角(0,0)出发,每一次可以向下或者向右走一步,网格中有些地方有障碍,机器人不能通过障碍。问:有多少种不同的方式走到右下角?

代码如下:

#include
using namespace std;
int main()
{
	int m,n;
	scanf("%d %d",&m,&n);			//输入行列数m,n 
	int f[m][n],dp[m][n];
	int i,j,k;
	for(i=0;i=0)
						dp[i][j]+=dp[i-1][j];
					if(j-1>=0)
						dp[i][j]+=dp[i][j-1];
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n",dp[m-1][n-1]);
	return 0;
} 

运行结果:

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疑惑:

好像运行时间有点长???

例四    Jump Game

题目描述:

有n块石头分别在x轴的0,1,2,…,n-1位置上。一只青蛙在石头0,想跳到石头n-1上。如果一只青蛙在第i块石头上,它最多可以向右跳ai。问,青蛙能否跳到n-1?

代码如下:

#include
using namespace std;
int main()
{
	int i,j,n;
	scanf("%d",&n);				//输入石头的数量 
	int a[n],f[n];
	for(i=0;i=j)
			{
				f[j]=1;
				break;
			}
		}
	}
	if(f[n-1]==1)
		printf("Yes\n");
	else
		printf("No\n");
} 

运行结果:

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例五    Paint House

题目描述:

有一排N栋房子,每栋房子要漆成3种颜色中的一种:红、蓝、绿。任何两栋相邻的房子不能漆成同样的颜色第i栋房子染成红色、蓝色、绿色的花费分别是cost[i][0]、cost[i][1]、cost[i][2]。问:最少花多少钱漆这个房子?

代码如下:

#include
using namespace std;
int MIN(int m,int n,int t)
{
	if(m>n)
		m=n;
	return m>t?t:m;
}
int main()
{
	int N,i,j;
	scanf("%d",&N);				//输入房子数量 
	int cost[N][3],f[N+1][3];		//i表示前i栋 i表示前i栋 i表示前i栋 i表示前i栋 
	for(i=0;i

运行结果:

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疑问:

运行速度一如既往得慢,希望大佬提出改进意见,感谢!

例六    Minimum Path Sum

题目描述:

给定m行n列的网格,每个格子(i,j)里都有一个非负数A[i][j],求一个从左上角(0,0)到右下角的路径,每一步只能向下或者向右走一步,使得路径上的格子里的数字之和最小,输出最小数字和。

代码如下:

#include
using namespace std;
int main()
{
	int i,j,m,n;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	int A[m][n],f[m][n];
	for(i=0;i

运行结果:

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优化代码:

滚动数组滚动数组滚动数组

#include
using namespace std;
int main()
{
	int i,j,m,n;
	scanf("%d%d",&m,&n);
	int A[m][n],dp[2][n];
	for(i=0;i

 

 

例七    数字三角形问题

题目描述:

给定一个由n行数字组成的数字三角形如下图所示。试设计一个算法,计算出从三角形的顶至底的一条路径,使该路径经过的数字总和最大。

对于给定的由n行数字组成的数字三角形,计算从三角形的顶至底的路径经过的数字和的最大值。

代码如下: 

#include
using namespace std;
int main()
{
	int n,i,j;
	scanf("%d",&n);
	int a[n][n];
	memset(a,0,sizeof(a));
	for(i=0;i=0;i--)
	{
		for(j=0;j<=i;j++)
		{
			dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j];	
		}
	}
	printf("%d\n",dp[0][0]);
	return 0;

	

} 
#include
#include
#define MAX 101
using namespace std;
int n;
int D[MAX][MAX];
int maxsum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i,int j)
{
	if(maxsum[i][j]!=-1)
		return maxsum[i][j];
	if(i==n)
		maxsum[i][j]=D[i][j];
	else
	{
		int x=MaxSum(i+1,j);
		int y=MaxSum(i+1,j+1);
		maxsum[i][j]=max(x,y)+D[i][j];
	}
	return maxsum[i][j];
}
int main()
{
	cin>>n;
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i)
		for(j=1;j<=i;++j)
		{
			cin>>D[i][j];
			maxsum[i][j]=-1;
		}
	cout<

另附递归代码:

#include
#define MAX 101
using namespace std;
int n;
int a[MAX][MAX];
int maxsum[MAX][MAX];					//记录避免重复运算 
int Maxsum(int i,int j)					
{
	if(maxsum[i][j]!=-1)
		return maxsum[i][j]; 
	if(i==n)
		maxsum[i][j]=a[i][j];
	else
		maxsum[i][j]=max(Maxsum(i+1,j),Maxsum(i+1,j+1))+a[i][j];
	return maxsum[i][j];
}
int main()
{
	int i,j;
	scanf("%d",&n);					//三角形行数 
	for(i=1;i<=n;++i)				//从第一行开始输入 
		for(j=1;j<=i;++j)
		{
			scanf("%d",&a[i][j]);
			maxsum[i][j]=-1;			 
		}
	printf("%d\n",Maxsum(1,1));
	return 0;
}

空间优化代码:

#include
#include
#define MAX 101
using namespace std;
int n;
int *maxsum;
int D[MAX][MAX];
int main()
{
	cin>>n;
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;++i)
		for(j=1;j<=i;++j)
			cin>>D[i][j];
	maxsum=D[n];
	for(i=n-1;i>=1;--i)
		for(j=1;j<=i;++j)
			maxsum[j]=max(maxsum[j],maxsum[j+1])+D[i][j];
	cout<

运行结果:

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例八    K好数

题目描述:

如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字,那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。
例如K = 4,L = 2的时候,所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大,请你输出它对1000000007取模后的值。

代码如下:

#include
using namespace std;
#define NUM 1000000007;
int main()
{
	int K,L;
	int i,j,x,count=0;
	scanf("%d%d",&K,&L);
	int arr[L+1][K];
	memset(arr,0,sizeof(arr));
	for(i=0;i

运行结果:

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例九    最长上升子序列

最长上升子序列(动态规划)——C++

例十    最长公共子序列

题目描述:

给出两个字符串,求出这样一个最长的公共子序列的长度:子序列中的每个字符都能在两个原字符串中找到,而且每个字符的先后顺序和原字符串中的先后顺序一致。

图解:

一篇文章带你快速入门DP动态规划——C++_第12张图片

代码如下:

#include
#include
using namespace std;
char str1[1000];
char str2[1000];
int maxlength[1000][1000];
int main()
{
	cin>>str1>>str2;
	int length1=strlen(str1);
	int length2=strlen(str2);
	int i,j;		
	//maxlength[i][j]表示str1左边i个字符形成的子字符串和str2左边的j个字符形成的子字符串的最长公共子序列的长度 
	for(i=0;i<=length1;++i)
		maxlength[i][0]=0;
	for(j=0;j<=length2;++j)
		maxlength[0][j]=0;
	for(i=1;i<=length1;++i)
	{
		for(j=1;j<=length2;++j)
		{
			if(str1[i-1]==str2[j-1])
				maxlength[i][j]=maxlength[i-1][j-1]+1;
			else
				maxlength[i][j]=max(maxlength[i-1][j],maxlength[i][j-1]);
		}
	}
	cout<

运行结果:

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例十一    最佳加法表达式

最佳加法表达式——动态规划详解——C++

例十二    神奇的口袋

题目描述:

有一个神奇的口袋,总的容积是40,用这个口袋可以变出一些物品,这些物品的总体积必须是40。John现在有n个想要得到的物品,每个物品的体积分别是 a1,a2……an。John可以从这些物品中选择一些,如果选出的物体的总体积是40,那么利用这个神奇的口袋,John就可以得到这些物品。现在的问题是,John有多少种不同的选择物品的方式。

输入:

输入的第一行是正整数n (1 <= n <= 20),表示不同的物品的数目。接下来的n行,每行有一个1到40之间的正整数,分别给出 a1,a2……an的值。

输出:

输出不同的选择物品的方式的数目。

代码如下:

#include
#include
using namespace std;
int N;
int a[20+1];
int Ways[40+1][20+1];		//Ways[i][j]表示从前j中物品中凑出体积i的方法数 
int main()
{
	cin>>N;
	memset(Ways,0,sizeof(Ways));
	for(int i=1;i<=N;++i)	//下标从1开始 
	{
		cin>>a[i];
		Ways[0][i]=1;
	}
	Ways[0][0]=1;
	for(int m=1;m<=40;++m)
	{
		for(int k=1;k<=N;++k)
		{
			Ways[m][k]=Ways[m][k-1];
			if(m-a[k]>=0)
				Ways[m][k]+=Ways[m-a[k]][k-1];
		}
	}
	cout<
using namespace std;
int a[21];
int Ways(int m,int k)
{
	if(m==0)
		return 1;
	if(k<=0)
		return 0;
	return Ways(m,k-1)+Ways(m-a[k],k-1);
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	cout<

运行结果:

一篇文章带你快速入门DP动态规划——C++_第14张图片

例十三    0-1背包问题  

0-1背包问题—动态规划+滚动数组—C++超详解

例十四    多重背包问题

https://blog.csdn.net/weixin_45953673/article/details/104932290

例十五    完全背包问题

完全背包问题——动态规划——C++详解

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