[2018雅礼3-27]subset 分类讨论+三维偏序+二维偏序

首先有个显然的结论，对于一个集合 S S ，当 ax,bx,cx a x , b x , c x 均不为最大值时从 S S 中删去 x x ，那么 |S|≤3 | S | ≤ 3 且一个 S S 唯一对应一个答案。
我们先用 O(nlog2n) O ( n log 2 ⁡ n ) 的三维偏序预处理出对于每个 x x ，有多少个 y y 满足 ax>ay,bx>by,cx>cy a x > a y , b x > b y , c x > c y ，记作 dx d x 。
类似的，用 O(nlogn) O ( n log ⁡ n ) 的二维偏序预处理出有两维大于，另一维不限的个数，记作 dabx,dbcx,dacx d a b x , d b c x , d a c x 。
于是讨论 |S| | S | ：
1. |S|=1 | S | = 1 ，显然所有单独的列都为一种合法的 S S ，贡献 n n 。
2. |S|=2 | S | = 2 ，那么要从所有二元集合里去除某一列比另一列三维都大的情况，剩下的均为合法 S S ，那么就是 (n2)−∑ni=1di ( n 2 ) − ∑ i = 1 n d i 。
3. |S|=3 | S | = 3 ，先考虑某一列三维均为最大的情况，记作 A A ；再考虑某一列至少有两个最大值的情况，记作 B B ，那么 |A|=∑ni=1(di2),|B|=∑ni=1((dabi2)+(dbci2)+(daci2)) | A | = ∑ i = 1 n ( d i 2 ) , | B | = ∑ i = 1 n ( ( d a b i 2 ) + ( d b c i 2 ) + ( d a c i 2 ) ) ，但是 A A 会在 B B 中算重三次，所以最后贡献就是 (n3)−|B|+2|A| ( n 3 ) − | B | + 2 | A | 。

代码：

#include
#include
#include
#include
#define N 100010
#define ll long long
using namespace std;
int n,c[N];
ll ans;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if(ch=='-') f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
struct node
{
    int x,y,z,d,dx,dy,dz;
}a[N],b[N];
void add(int x,int d){for(;x<=n;x+=(x&-x)) c[x]+=d;}
int qry(int x){int r=0;for(;x;x-=(x&-x)) r+=c[x];return r;}
bool cmpx(node p,node q)
{
    return p.xbool cmpy(node p,node q)
{
    return p.yint x)
{
    return (ll)x*(x-1)/2;
}
void solve(int L,int R,int l,int r)
{
    if(L>=R||l>=r) return ;
    int mid=(l+r>>1);
    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(a[i].y<=mid) add(a[i].z,1);
        else a[i].d+=qry(a[i].z);   
    int top=L-1,tmp;
    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(a[i].y<=mid) b[++top]=a[i],add(a[i].z,-1);
    tmp=top;
    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(a[i].y>mid) b[++top]=a[i];
    for(int i=L;i<=R;i++)
        a[i]=b[i];
    solve(L,tmp,l,mid);
    solve(tmp+1,R,mid+1,r);             
}
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].x=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].y=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].z=read();
    sort(a+1,a+n+1,cmpx);   
    solve(1,n,1,n);
    sort(a+1,a+n+1,cmpx);
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].dz+=qry(a[i].y),add(a[i].y,1);
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].dy+=qry(a[i].z),add(a[i].z,1);
    memset(c,0,sizeof(c));  
    sort(a+1,a+n+1,cmpy);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i].dx+=qry(a[i].z),add(a[i].z,1); 
    ans=G(n)+n; 
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans-=a[i].d;
    ans+=G(n)*(n-2)/3;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll A=G(a[i].d),B=G(a[i].dx)+G(a[i].dy)+G(a[i].dz);
        ans-=(B-2*A);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}