2016 Multi-University Training Contest 1 -1006 PowMod
题目地址：hdu5728
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5728
PowMod
Problem Description
Declare:
k=∑mi=1φ(i∗n) mod 1e9+7
n is a square-free number.
φ is the Euler’s totient function.
find:
ans=kkkk... mod p
There are infinite number of k
Input
Multiple test cases(test cases ≤100), one line per case.
Each line contains three integers, n,m and p.
1≤n,m,p≤107
Output
For each case, output a single line with one integer, ans.
Sample Input
1 2 6
1 100 9
Sample Output
4
7
题目大意：
给定n,m,p,
k=∑mi=1φ(i∗n) mod 1e9+7 ，求 kkk... mod p
另sum(n,m)= ∑mi=1φ(i∗n) mod 1e9+7
后面就不写取余啦！
假设 素数p 是n的一个约数，题目保证n为square-free number，即 p2∤n .
这里p和 i∗np 互素，可以利用欧拉函数的积性展开。
T=∑mi=1,p∣iφ(i∗n) 上面式子剩下的部分。
T=∑m/pi=1φ(i∗p∗n)
= ∑m/pi=1φ(pk+1∗i∗npk) 保证 p∤i∗npk
利用乘性展开:
= ∑m/pi=1φ(pk+1)φ(i∗npk)
当p为素数时， φ(pk)=pk−pk−1
T=∑m/pi=1(pk+1−pk)φ(i∗npk)
= ∑m/pi=1φ(p)∗pk∗φ(i∗npk)
= ∑m/pi=1φ(p)∗φ(i∗npk)∗(pk−pk−1+pk−1)
= ∑m/pi=1φ(p)∗φ(pk)φ(i∗npk)+∑m/pi=1φ(p)∗φ(i∗npk)∗(pk−1)
= ∑m/pi=1φ(p)∗φ(i∗n)+∑m/pi=1φ(pk)∗φ(i∗npk)
= ∑mi=1,p∣iφ(p)∗φ(i∗np)+∑m/pi=1φ(i∗n)
得到最终式子：
sum(n,m)=φ(p)sum(np,m)+sum(n,mp)
然后对于一对n,m，找到n的一个素因子递归求解即可。因为n<=1e7，n的素因子不超过8个。
本题寻找素因子过程暴力遍历素数表也可以过，我的方法是在线性筛的时候标记出每个数最大的素因子
求出k，后可以用欧拉降幂的公式递归求解：
欧拉降幂的证明：
http://www.ithao123.cn/content-5288189.html
/* ***********************************************
Author :yuanzhaolin
Created Time :2016年07月20日 星期三 08时51分40秒
File Name :f.cpp
************************************************ */
#include
#define REP(i,a) for(int i=1;i<=a;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=a-1;i>=b;i--)
#define foreach(i,a) for(int i=head[a];i>=0;i=ee[i].next)
#define Foreach(i,a) for(__typeof((a).begin())i=(a).begin();i!=(a).end();i++)
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define mp make_pair
#define m0(x) memset(x,0,sizeof(x))
#define mff(x) memset(x,0xff,sizeof(x))
#define fi first
#define se second
#define lson k<<1,l,(l+r)/2
#define rson k<<1|1,(l+r)/2+1,r
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define C1(x) cout<
#define C2(x,y) cout<
#define C3(x,y,z) cout<
typedef long long ll;
typedef vector<int> VI;
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector< pair<int,int> > VPII;
const ll mod=1e9+7;
const ll maxn=1e7+7;
const ll maxe=1e6+7;
const ll INF=1e9+7;
const double PI=acos(-1);
int dx[4]={0,0,1,-1};
int dy[4]={-1,1,0,0};
long long qpow(long long a,long long n,long long mod)
{
long long ans=1;
while(n)
{
if(n&1) ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
n>>=1;
}
return ans;
}
bool vis[maxn];
int prime[maxe];
int euler[maxn];
long long esum[maxn];
int cnt;
int pri[maxn];
void init()
{
cnt=0;
euler[1]=1;
esum[1]=1;
for(int i=2;iif (!vis[i])
{
prime[cnt++]=i;
euler[i]=i-1;
pri[i]=i;//i的最大的素因子
}
for(int j=0;jtrue ;
pri[i*prime[j]]=pri[i];//i的最大的素因子
if(i%prime[j]==0)
{
euler[i*prime[j]]=euler[i]*prime[j];
break;
}
else
euler[i*prime[j]]=euler[i]*(prime[j]-1);
}
}
for(int i=1;i1 ]+euler[i])%mod;
}
long long n,m,p;
long long cal(long long n,long long m)
{
if(n==1ll) return esum[m]%mod;
if(m==1) return euler[n];
if(m<1ll) return 0ll;
int p=pri[n];
long long ans=1ll*(p-1)*cal(n/p,m)%mod+cal(n,m/p)%mod;
return ans%mod;
}
long long run(long long a,long long b)
{
long long ans;
if(b==1ll) ans=0;
else
{
long long tmp=run(a,euler[b]);
ans=qpow(a,tmp+euler[b],b);
}
// cout<
return ans;
}
void solve()
{
long long k=cal(n,m);
long long tmp;
long long M=euler[p];
long long t=k%M;
long long ans=run(k,p);
cout<int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
init();
while(cin>>n>>m>>p)
{
solve();
}
return 0;
}