【贪心算法】最小生成树（Prim算法 & Kruskal算法）（C++）
一、最小生成树问题
1. 问题描述
- 设G =(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。（V是顶点集合，E是边集合）
- 如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。
- 在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。
2. 算法分析
- Prim算法和Kruskal算法：都是解最小生成树问题的贪心算法；它们做贪心选择的方式不同，但都利用了下面的最小生成树性质。
最小生成树性质：
- 设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。
- 如果(i,j)∈E，且i∈U，j∈V-U，且在所有这样的边中，(i,j)的权c[i][j]最小，那么必存在一棵包含边(i,j)的最小生成树。
- 这个性质也称为MST（Minimum Spanning Tree）性质。
2.1. Prim算法
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贪心选择策略： 每次都选择到下一顶点权最小的边。
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基本步骤：
- 置顶点集合S={1}；
- 只要S是V的真子集，就作如下的贪心选择：选取满足条件i∈S，j∈V-S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。
- 这个过程一直进行到S=V时为止，选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。
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举个例子： 对于图1中的连通带权图，按Prim算法选取边的过程如图2。
2.2. Kruskal算法
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贪心选择策略： 每次都选择权最小的可以连通两个不同连通分支的边。
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基本步骤：
- 将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小到大排序。
- 从第一条边开始，依边权递增的顺序查看每一条边，并按下述方法连接2个不同的连通分支：
- 当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T2中的顶点时，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；
- 如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看第k+1条边；
- 这个过程一直进行到只剩下一个连通分支时为止，选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。
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举个例子： 对于图1中的连通带权图，按Kruskal算法选取边的过程如图3。
[注]：无向连通带权图 --> 邻接矩阵
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用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵；
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每条带权无向边（v，w）的权存入矩阵c[v][w]；矩阵其余项为∞。
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以图1为例：
邻 接 矩 阵 A = [ ∞ 6 1 5 ∞ ∞ 6 ∞ 5 ∞ 3 ∞ 1 5 ∞ 5 6 4 5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 ∞ 3 6 ∞ ∞ 6 ∞ ∞ 4 2 6 ∞ ] 邻接矩阵 A=\begin{bmatrix} \infty & 6 & 1 & 5 & \infty & \infty \\ 6 & \infty & 5 & \infty & 3 & \infty \\ 1 & 5 & \infty & 5 & 6 & 4 \\ 5 & \infty & 5 & \infty & \infty & 2 \\ \infty & 3 & 6 & \infty & \infty & 6 \\ \infty & \infty & 4 & 2 & 6 & \infty \\ \end{bmatrix} 邻接矩阵A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡∞615∞∞6∞5∞3∞15∞5645∞5∞∞2∞36∞∞6∞∞426∞⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
二、算法实现
1. Prim算法
// 【贪心算法】最小生成树问题 - Prim算法
#include 2. Kruskal算法（这是书上的，待续…）
// 【贪心算法】最小生成树问题 - Kruskal算法
template <class Type>
class EdgeNode
{
friend ostream& operator <<(ostream&, EdgeNode<Type>);
friend bool Kruskal(int, int, EdgeNode<Type>*, EdgeNode<Type>*);
friend int main(void);
public:
operator Type() const
{
return weight;
}
private:
Type weight;
int u, v;
};
template <class Type>
bool Kruskal(int n, int e, EdgeNode<Type> E[], EdgeNode<Type> t[])
{
MinHeap<EdgeNode<Type>> H(1);
H.Initialize(E, e, e);
UnionFind U(n);
int k = 0;
while (e && k < n - 1)
{
EdgeNode<int> x;
H.DeleteMin(x);
e--;
int a = U.Find(x.u);
int b = U.Find(x.v);
if (a != b)
{
t[k++] = x;
U.Union(a, b);
}
}
H.Deactivate();
return (k == n - 1);
}
3. 运行结果展示
三、友情链接~
- 其它一些常见算法请参阅此链接~
最后，非常欢迎大家来讨论指正哦！