HDU6760 Math is Simple 数学变形+莫比乌斯反演

题目描述

求
$$\sum _{1\le a\le b\le n,gcd(a,b)=1,a+b\ge n}\frac{1}{ab}$$
$1\le T\le 1e4,1\le N\le 1e8$

分析

有$a+b\ge n$，所以考虑和前一项作差。
$$f_n=\sum _{1\le a<b\le n,gcd(a,b)=1,a+b\ge n}\frac{1}{ab}$$
作差之后，少了个$a+b=n-1$，多了个$b=n$即：
$$f_n=f_{n-1}+\sum _{1\le a<n,gcd(a,n)=1}\frac{1}{an}-\sum _{1\le a<b\le n,gcd(a,b)=1,a+b=n-1}\frac{1}{ab}$$
发现对于后面-的部分，设为$g_n$有：
$$g_n=\sum _{1\le a<b\le n,gcd(a,b)=1,a+b=n}\frac{1}{ab}=\frac{1}{n}\sum _{1\le a<b\le n,gcd(a,b)=1,a+b=n}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{n}\sum _{1\le a<n,gcd(a,n)=1}\frac{1}{a}$$
且上面式子的$n\ge 3$，当$n=2$时，$g_2=0$
发现跟前面那一项长的差不多，其实就是有：
$$f_n=f_{n-1}+g_n-g_{n-1}$$
将$f_{n-1}$再裂开，我们就有$f_n=f_2+g_n-g_2=\frac{1}{2}+g_n$
对于$g_n$，有：
$$g_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}\sum _{d|gcd(i,n)}\mu (d)=\frac{1}{n}\sum _{d|n}\frac{\mu (d)}{d}S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
然后开一个$1e8$的数组，需要$380MB$的空间，所以我们可以预处理前缀和，然后对于每个$n$进行质因数分解，然后二进制枚举质因数即可。

代码

#include 

#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define dep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define fi first
#define se second
#define CL clear
#define MP make_pair
#define PB push_back

//#define int long long

const int N = (int) 1e8 + 10;
const int mod = (int) 998244353;

using namespace std;

typedef long long ll;

inline int rd() {
  int p=0; int f=1; char ch=getchar();
  while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-') f*=-1; ch=getchar();}
  while(ch>='0' && ch<='9'){p=p*10+ch-'0'; ch=getchar();}
  return p*f;
}

int inv[N];

ll qpow(ll x,ll k,ll mo) {
  ll s = 1;
  while(k) {
    if(k&1) s=1ll*s*x%mo;
    x=1ll*x*x%mo; k>>=1;
	}return s;
}

vector<ll> fac;

signed main() {
  
  inv[0] = inv[1] = 1;
  for(int i=2;i<=(int)(1e8);++i) inv[i] = (ll)(mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
  for(int i=2;i<=(int)(1e8);++i) inv[i] = (inv[i-1] + inv[i]) % mod;
  int t = rd();
  while(t--) {
    ll n = rd(); ll ans = qpow(2,mod-2,mod); ll x = n;
    fac.CL(); for(ll i=2;i*i<=x;++i) if(x%i == 0) {
      fac.PB(i);
      while(x%i==0) x/=i;
	  }if(x!=1) fac.PB(x);
	  ll gn = 0;
	  if(n>2) {
	    for(ll i=0;i<(1<<fac.size());++i) {
	      ll d = 1; ll s = 0;
			  for(ll j=0;j<fac.size();++j) if(i&(1<<j)){
			  	d *= fac[j]; s++;
	      }
	      gn = (gn + 1ll * ((s&1) ? (-1) : 1) * qpow(d,mod-2,mod) % mod * inv[n/d] % mod) % mod;
		  }gn = gn * qpow(n , mod-2 , mod) % mod;
	  }else gn = 0;
	  printf("%lld\n",(ans + gn + mod) % mod);
	}
  return 0;
}