【LeetCode】152.乘积最大子数组

题目链接

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-product-subarray/

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。

示例 1:
输入: [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

示例 2:
输入: [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。

解题思路

1.暴力枚举

双重for循环，以数组中每个下标开始，迭代更新乘积最大的连续子数组。时间复杂度O(n²)

2.动态规划

首先本题与LC 53.最大子序和类似，53题的转移方程为dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])，dp[i]仅仅与前一个状态有关，因为题目要求是连续子数组。回到本题中，如果只考虑数组中只会出现正数，那么这道题就和53题的思路是一样的，状态转移方程也是一样的：dp[i]=max(dp[i-1]*nums[i],nums[i])，但是本题中数组中是会出现不定个数的负数，如果只有一个负数，上述状态转移方程是没有问题的，但是如果出现两个负数就会产生问题，因为负负得正，比如数组[2,3,-3,-4]。，那么第一个符号之前所有的乘积就都要考虑在dp[i]里面，但是用上述方程，早在第一个负数出现的时候，它前面的乘积都已经丢掉了，所以这才是为什么还需要记录一个最小值，说白了，最小值只有是负数出现的时候才会在这道题发挥它的用处，否则，最小值和最大值都是一样的。所以对于dp[i]来说，dp[i-1]可能是最大值也可能是最小值，若nums[i]>0,则dp[i-1]记录的是>0的最大值，则没问题，若nums[i]<0，dp[i-1]就应该记录的是<0的最小值，这样才能产生最大值。所以改进后的状态转移方程如下:

maxF[i] = max(minF[i - 1] * nums[i], max(nums[i], maxF[i - 1] * nums[i]));
minF[i] = min(maxF[i - 1] * nums[i], min(nums[i], minF[i - 1] * nums[i]));

AC代码

1.暴力枚举(超时)

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int maxProduct(vector<int>& nums) {
 4         int ans = INT_MIN;
 5         for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
 6         {
 7             int val = 1;
 8             for(int j = i; j < nums.size(); j++)
 9             {
10                 val = val * nums[j];  //迭代更新乘积最大的连续子数组
11                 if(val > ans) ans = val; //迭代更新乘积最大的连续子数组
12             }
13         }
14         return ans;
15     }
16 };

2.动态规划

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int maxProduct(vector<int>& nums) {
 4         vector <int> maxF(nums), minF(nums);
 5         int ans = max(INT_MIN,nums[0]);
 6         for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
 7             maxF[i] = max(minF[i - 1] * nums[i], max(nums[i], maxF[i - 1] * nums[i]));
 8             minF[i] = min(maxF[i - 1] * nums[i], min(nums[i], minF[i - 1] * nums[i]));
 9             ans = max(ans,maxF[i]);
10         }
11         return ans;
12     }
13 };

因为当前状态只有前一个状态有关，所以可以把空间复杂度从O(n)优化至O(1)

优化后的动态规划

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int maxProduct(vector<int>& nums) {
 4         int maxf = 1;
 5         int minf = 1;
 6         int ans = INT_MIN;
 7         for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
 8         {
 9             int aa = maxf;   //利用aa记录尚未更新的maxf的值。
10             maxf = max(minf*nums[i],max(maxf*nums[i],nums[i]));
11             minf = min(aa*nums[i],min(minf*nums[i],nums[i]));
12             ans = max(ans,maxf);
13         }
14         return ans;
15     }
16 };