2020暑期牛客多校训练营第九场（B）Groundhog and Apple Tree(树形dp，贪心)

Groundhog and Apple Tree

原题请看这里

题目描述：

土拨鼠非常擅长爬树。
一天，土拨鼠来到一棵苹果树上。出于某种原因，他决定吃掉树上的所有苹果。苹果树上有$n$个点，每个点上都有一个苹果。这些点由$n-1$条边连接（所有点都被连接）。在每个边上都有一个障碍物，这需要一定的$HP$才能让$Groundhog$跳过。如果$Groundhog$吃了$i^{th}$在树上的苹果，他可以恢复$a_{i}HP$。他可以度过没有苹果的地步。土拨鼠还可以休息一个时间来恢复$1HP$。
注意：土拨鼠的$HP$不能随时为负，但可以为$0$或无穷大。他只能吃一个苹果，但是每次他越过边缘时都会消耗$HP$。土拨鼠没有时间跳过障碍或吃苹果。由于边缘很脆弱，因此土拨鼠最多只能穿过每个边缘两次。
现在，土拨鼠开始从树的根节点$1$开始爬树，他的初始$HP$为零。他想在经过所有点后返回到$1$点。由于休息以恢复他的$HP$非常无聊，他想问你最小的休息时间是他遍历所有要点并回到根源的时间。

输入描述：

第一行中有一个整数$T$表示有$T$组数据，每个数据集包含：
第一行中的整数$n$表示苹果树上有$n$个点。
下一行包含$n$个整数，$i^{th}$个整数$a_i$表示可以通过食用$i^{th}$苹果来恢复的$HP$。
接下来的$n-1$行，每行包含三个整数$u_i，v_i，w_i$，指示在$u_i$和$v_i$之间存在一条边，障碍物消耗$w_{i}HP$。

输出描述：

对于每个数据集，输出一个整数，表示土拨鼠休息的最短时间。

样例输入：

1
5
4 2 1 5 7
1 2 4
1 3 5
4 2 9
5 2 3

样例输出：

23

说明：

He can traverse in the order of 1 → 3 → 1 → 2 → 5 → 2 → 4 → 2 → 1.

备注：

1⩽T⩽1000,1⩽n⩽10^5,∑n⩽10^6,0⩽ai,wi<2^31

思路：

树形$dp$
观察题目意思，我们发现遍历整棵树其实就是从根节点出发遍历每一个子树，最后回到根节点，对于根节点的每个子树其实是一样的，没有后效性，就可以用动态规划来做，在树上跑动规，就是树形$dp$啦。
分析题意我们可以想到：访问$i$子树所需的总$HP{a}_i$是个定值，所以我们只需要考虑访问顺序所带来的影响
在遍历每个节点时，我们需要用到一个贪心思想：

1. 优先走能加$HP$的节点
2. 优先去能加$HP$多的节点
3. 优先去$T($最短时间$)+HP$大的节点
4. 再去减$HP$的节点

所以我们只要排一下序再按以上策略跑树形$dp$即可

$AC$ $Code$:

vector版：

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=1e6+5;
struct node{
	ll first,second;
	node(){}
	node(ll _fi,ll _se){
		first=_fi;
		second=_se;
	}
}dp[MAXN];
bool cmp(node x,node y){
	if(x.second>=x.first){
		if(y.second<y.first) return true;
		return x.first<y.first;
	}
	else{
		if(y.second>=y.first) return false;
		return x.second>y.second;
	}
}//贪心排序
vector<node> vec[MAXN];
int t,n,a[MAXN];
ll minn,now;
void get_ans(int pos,int fa){
	vector<node> tor;
	for(int i=0;i<vec[pos].size();++i){
		node v=vec[pos][i];
		if(v.first==fa) continue;
		get_ans(v.first,pos);
		dp[v.first].first+=v.second;
		dp[v.first].second-=v.second;
		if(dp[v.first].second<0)
			dp[v.first]=node(dp[v.first].first-dp[v.first].second,0);
		tor.push_back(dp[v.first]);
	}
	sort(tor.begin(),tor.end(),cmp);
	minn=now=a[pos];
	for(int i=0;i<tor.size();++i){
		node v=tor[i];
		minn=min(minn,now-v.first);
		now+=v.second-v.first;
	}
	if(minn>=0) dp[pos]=node(0,now);
	else dp[pos]=node(-minn,now-minn);
}
ll u,v,dis;
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			scanf("%d",a+i);
			vec[i].clear();
		}
		for(int i=1;i<n;++i){
			scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&dis);
			vec[u].push_back(node(v,dis));
			vec[v].push_back(node(u,dis));
		}
		get_ans(1,-1);
		printf("%lld\n",dp[1].first);
	}
}

pair版：

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=1e6+5;
pair<ll,ll> dp[MAXN];
bool cmp(pair<ll,ll> x,pair<ll,ll> y){
	if(x.second>=x.first){
		if(y.second<y.first) return true;
		return x.first<y.first;
	}
	else{
		if(y.second>=y.first) return false;
		return x.second>y.second;
	}
}
vector<pair<ll,ll> > vec[MAXN];
int t,n,a[MAXN];
ll minn,now;
void get_ans(int pos,int fa){
	vector<pair<ll,ll> > tor;
	for(int i=0;i<vec[pos].size();++i){
		pair<ll,ll> v=vec[pos][i];
		if(v.first==fa) continue;
		get_ans(v.first,pos);
		dp[v.first]=make_pair(dp[v.first].first+v.second,dp[v.first].second-v.second);
		if(dp[v.first].second<0)
			dp[v.first]=make_pair(dp[v.first].first-dp[v.first].second,0);
		tor.push_back(dp[v.first]);
	}
	sort(tor.begin(),tor.end(),cmp);
	minn=now=a[pos];
	for(int i=0;i<tor.size();++i){
		pair<ll,ll> v=tor[i];
		minn=min(minn,now-v.first);
		now+=v.second-v.first;
	}
	if(minn>=0) dp[pos]=make_pair(0,now);
	else dp[pos]=make_pair(-minn,now-minn);
}
ll u,v,dis;
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			scanf("%d",a+i);
			vec[i].clear();
		}
		for(int i=1;i<n;++i){
			scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&dis);
			vec[u].push_back(make_pair(v,dis));
			vec[v].push_back(make_pair(u,dis));
		}
		get_ans(1,-1);
		printf("%lld\n",dp[1].first);
	}
}