树链剖分详解

食用之前请务必搞清楚线段树

什么是树链剖分

• 树链剖分，它可以对一棵树进行轻重链剖分后用数据结构来维护每条重链。
• 比如下面这个问题：假设每个点有一个点权。如何把一棵树上的两个点 u u , v v 之间的简单路径上的所有点的点权增加 d d ？
• 这就是树链剖分能够解决的的一个基本问题。
• 接下来介绍一下树链剖分的详细过程。

轻重链剖分

• 树链剖分的第一步就是将一棵树进行轻重链剖分。这一步决定了整个树链剖分的时间复杂度。

引入几个概念：

• size[u] s i z e [ u ] ：以 u u 为根的子树大小
• wson[u] w s o n [ u ] ：在 u u 的儿子中 size s i z e 值最大的那一个，称作 u u 的重儿子
• dfn[u] d f n [ u ] ：每个点的dfs序号。 pre[tot] p r e [ t o t ] ，如果dfn[u]=tot，则 pre[tot]=u p r e [ t o t ] = u
• 重链：指每个点与它的重儿子之间的连边( u u — wson[u] w s o n [ u ] )
• 轻链：在所有边中不是重的其他边

举个例子来详细说一下。

• 如上图（一张从百度百科挖来的图），每一个带红点的点就是轻儿子；每一条加粗的的边就是重链，没有加粗的就是轻边。比如说对于点2，那么
  wson[2]=6,size[2]=5,size[wson[u]]=size[6]=3 w s o n [ 2 ] = 6 , s i z e [ 2 ] = 5 , s i z e [ w s o n [ u ] ] = s i z e [ 6 ] = 3 。
• dfn[u] d f n [ u ] 的含义就要稍微的特殊一些。因为它不仅仅是简单的dfs序号，而是按照轻重链的顺序来定义的。每次从一个点 u u 往下dfs的时候，优先对 wson[u] w s o n [ u ] 进行dfs，然后再遍历轻儿子们。
• 比如说上图，每条边上有一个序号。把这个序号看做是点的（比如说1->4上面的1应该是dfn[4]）。从1开始dfs，可以明显的看到是先对4进行dfs，然后再对wson[4]也就是9进行dfs….到了叶子节点再回溯去dfs轻儿子。
• 为什么要这样做呢？因为这样之后，可以看到，每一条长重链上的每个点的dfn是连续的。比如1->4->9->13->14这条长重链上的dfn便是连续的，其他两条也一样。这样一来，就可以用维护区间的数据结构（比如线段树）来维护重链上的信息。

树链剖分的好处

• 一个上面已经说了，就是重链上的dfn是连续的，可以用数据结构维护
• 还有就是，在每一条由根到叶子结点的路径上，轻链的条数和重链的长度均不会超过 logn log ⁡ n 。这个性质决定了树链剖分的时间复杂度。如果是拿线段树来维护链的话，复杂度就是 nlog2n n log 2 ⁡ n

代码实现轻重链剖分

• 一共需要两个dfs。
• 第一个用来处理每个点的基础信息（ wson,size,dep,fa w s o n , s i z e , d e p , f a ）

第一个dfs代码：

inline dfs1(int u, int f)//两个参数：u是现在的点，f是u的父亲
{
    size[u] = 1;//最开始u的子树中只有u一个点
    for(edge *p = head[u]; p; p = p->next)//遍历每一个与u相连的点
    {
        int v = p->v;
        if(v == f) continue;//如果此点是u的父亲就跳过
        dep[v] = dep[u] + 1;
        fa[v] = u;//处理信息
        dfs1(v, u);//继续递归
        size[u] += size[v];//u的子树大小要加上v的子树大小
        if(size[wson[u]] < size[v]) wson[u] = v;//更新重儿子
    }
}

• 这样就用一个dfs处理出了每个点的信息。
• 再用第二个dfs求出每个点的dfn以及该点所处的链的链首。

代码：

inline void dfs2(int u, int tp)//u是当前点，tp是该链链首
{
    dfn[u] = ++tot, pre[tot] = u, top[u] = tp;
    //pre是dfn的反函数。如dfn[2] = 3,pre[3] = 2...
    //为什么要有这个反函数，因为在建线段树的时候是用dfn建的，然而如果想要知道原来那个点的信息就要知道pre
    if(wson[u]) dfs2(wson[u], tp);//有重子就继续往下拉重链
    for(edge * p = head[u]; p; p = p->next)//回过头来在轻儿子中拉链
    {
        int v = p->v;
        if(v != fa[u] && v != wson[u]) dfs2(v, v);//如果不是爸爸或重儿子，已该点为链首继续拉链
    }
}

至此，轻重链剖分完成，然后便是第二大块——

线段树维护重链

• 就是用线段树维护重链上的信息。
• 注意事项：这里所有的参数都是以dfn的形象出现的，而不是原来那个点的序号。

inline void build(node *r, int left, int right)
{
    r->left = left, r->right = right, r->lazy = -1, r->s = 0;
    if(left == right)
    {
         r->s = value[pre[left]];
         //这里是pre[left]不是left!原因就是刚才说的：这里所有的参数都是以dfn的形象出现的，而不是原来那个点的序号。
         return ;
    }
    int mid = (left + right) / 2;
    node *lson = &pool[++cnt], *rson = &pool[++cnt];
    r->ch[0] = lson, r->ch[1] = rson;
    build(lson, left, mid); build(rson, mid + 1, right);
    pushup(r);
}

基础的查询修改操作（在重链上的）就是原来的函数，怎么写详细请看线段树基础。

最后一步，也就是——

两点间路径的修改&查询

• 就是最开始提到的问题：如何把一棵树上的两个点 u u , v v 之间的简单路径上的所有点的点权增加 d d ？

上图

Q1：如果想要求11与2之间的和该怎样？
A1：在同一重链上，直接调用query查询就行了。

• 在同一重链上的两点都可以直接查询

Q2：求6与7之间的和？
A2：将6跳到1，同时答案加上query(dfn[2],dfn[6])；然后将7跳到1，答案加上query(dfn[3],dfn[7])

• 在不同重链上的两个点就一直按重链向上跳，直到跳到同一条重链上—>Q1

代码（修改的）：

inline void modify(int u, int v, int d)
{
    while(top[u] != top[v]) //直到跳到一条链上
    {
        if(dfn[top[u]] < dfn[top[v]]) swap(u, v);//这里根据链首的值交换一下
        change(root, dfn[top[u]], dfn[u], d), u = fa[top[u]];//最后u=链首的爸爸
    }
    if(dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
    change(root, dfn[u], dfn[v], d);
    //Q1
}

查询的（基本类似）：

inline int Qsum(int u, int v)
{
    int ret = 0;
    while(top[u] != top[v]) 
    {
        if(dfn[top[u]] < dfn[top[v]]) swap(u, v);
        ret += query(root, dfn[top[u]], dfn[u]), u = fa[top[u]];
    }
    if(dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
    ret += query(root, dfn[u], dfn[v]);
    return ret;
}

至此基本完结

类模板题

CF343D，[NOI2015]软件包管理器，[SHOI2012]魔法树，[SDOI2011]染色，[ZJOI2008]树的统计