贪心算法应用-最小生成树

　　在一个有权连通图（网络）中，生成树的各边权值之和称为生成树的代价。在网络的所有生成树中，权值最小的那颗生成树称为最小代价生成树（Minimum Cost Spanning Tree）,简称为最小生成树Minimum  Spanning Tree）。讨论问题就是如何寻找一颗各边权的总和最小的生成树。

 

Q：假设n个城市之间建立公路网，则连通n个城市只需要n-1条公路。如何在最节省经费条件下构建此公路网。对于诸如此类问题都可以使用一个具有n个顶点的无向网络来表示。由于网路的每个生成树正好是n-1条边，这样的问题就转化为如何选择n-1条边使它们形成一个最小生成树。

目前，采用贪心思想来求解最小生成树的方法主要有Kruskal（克鲁斯卡尔算法）和Prim（普里姆算法）

 

Kruskal算法

　　是一种按照网络中各边的权值递增的顺序构造出 最小生成树的方法。其基本思想是设无向连通网为G=(V,E)，令G的最小生成树为T，其初态为T(V,{}),即开始时，最小生成树T是由图G中的n个顶点构成，顶点之间没有一条边，这样T中各个顶点各自构成一个连通分量。然后按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边界E的各条边。并选择权值最小且不与T中的边构成环的一条边加入到最小生成树的边集合中（这一条是Kruskal算法所使用的贪心选择准则），如此下去，直到所有的结点都加入到最小生成树的结点集合中为止，Kruskal算法求解过程如下。

1）初始化

　　将图的边按权值大小进行排序。通常使用最小堆来存放图中的所有边，堆中的每个结点的内容包括一条边的起点、终点和代价。

2）求代价最小的边

　　在构造最小生成树过程中，利用并查集的运算检查依附一条边的两顶点是否在同一连通分量（即并查集的同一个子集合）上，如果是则舍去这条边；否则将此边加入T中，同时将这两个顶点放在同一个连通分量上。

　　并查集作为一种高效易实现的数据结构提供看集合间的合并操作，即将两个并查集合并成一个并查集；同时提供了集合元素的归属查找操作，即返回待查找元素所在集合名字。

　　最常见的并查集实现是森林，即在森林中，每棵树代表一个集合，用树根来标识一个集合。当要把两个集合S1和S2合并时，只需将S1的根的父亲设置为S2的根就可以。当查找一个元素X时，只需要沿着叶子到根节点的路径找到X所在树的 根节点，就确定了X所在的集合。

3）合并

　　随着各边逐步加入到最小生成树T的边集合中，各连通分量也逐渐合并，直到形成一个连通分量为止。

 

Prim算法

　　基本思想是设无向连通图G=(V,E)，令G的最小生成树为T=(U,TE),其中U是G的生成树的顶点集合，TE是G的生成树中边的集合。开始时，U={u0}，TE={}。u0是G中的任意一个顶点。然后重复进行如下操作：在一个顶点在U中，另一个顶点不在U中的所有边中选择权值最小的边（u,v），把它的顶点加入到集合U中(这是prim算法所使用的贪心算法)。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止，Prim算法的求解过程如下：

1）初始

T只包含根结点s，U={s}。对于任意结点v∈V-U，令 closedge[v].lowcost=cosr(s,v) , closedge[v].adjvex=s.

2）选择

选择结点u∈V-U，使closedge[u].lowcost=min{closedge[v].lowcost | v∈ V-U}。将结点u及边< closedge[u].adjvex，u>加入数T，令U=U ∪ {u}。

3）修改

对于任意结点v∈V-U，如果cost[u,v] < closedge[v].lowcost,则closedge[v].lowcost=cost[u,v];closedge[v].adjvex=u.

4）判断

若U=V，则算法结束，否则转第2）步。

其中，数组closedge表示的是一个从顶点集U到V-U的代价最小的生成树，数组cost代表两个顶点之间的代价。

 

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