数学建模模型01：层次分析法（AHP）

层次分析法(The analytic hierarchy process, 简称AHP) 建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决 评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀）

一、层次分析法的基本原理与步骤

运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：
（i）建立递阶层次结构模型；
（ii）构造出各层次中的所有判断矩阵；
（iii）层次单排序及一致性检验；
（iv）层次总排序及一致性检验。

下面分别说明这四个步骤的实现过程。

1、分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构

这些层次可以分为三类：
（i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等， 因此也称为措施层或方案层。
*一般层次数不受限制，但是每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例 1 假期旅游有 1 P 、 2 P 、 3 P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
在此问题中，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件（有时候题目中不会给出准则层的数据，此时我们要通过知网等平台搜索数据）等一些准则去反复比较 3 个侯选地点。可以建立如图 1 的层次结构模型（模型图须放入论文中）。

2、构造判断矩阵（C-P矩阵）

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。

准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据，可以考虑利用这些数据进行计算
例如：有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且你收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。

3、层次单排序及一致性检验

一致矩阵
由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）.
原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别

简单判断办法（每行或者每列对应元素成比例）

其中左边的为非一致矩阵，右边的为一致矩阵
但是一般我们所做出来的判断矩阵都是非一致矩阵
根据下列定理

因此对应的最大特征值都要大于n

因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。
步骤如下所示

4、一致矩阵权重归一化

计算判断矩阵权值的三种方法（其实还有最小二乘法，对数最小二乘法）
1、算术平均法求权重

2、几何平均法求权重

3、特征值法求权重（传统方法）
假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

强烈建议大家在比赛时三种方法都使用：（还有2种方法有余力我在写上）
以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法 求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得 到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了 采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

5、层次总排序及一致性检验

检验层次总排序的一致性，并计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。

对层次总排序也需作一致性检验，检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都 已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。

局限性

层次分析法也有其局限性，主要表现在：
（1）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
（2）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP 至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。

现再分析一个实例，以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。

大致步骤