Codeforces Round #536 (Div. 2) F

题目意思：

已知 fn=(fn-1^b1 * fn-2^b2 *...* fn-k^bk) mod 998244353, 其中 b1,b2,...bk都知道，fn=m，n,k,m是给你的数字.要求fk

如果不存在，就输出-1

 

思路：

官方题解是这样表述的：

1.998244353 是一个质数，而且很特殊，它的原根是3

2.原根(设g是p的原根)的性质有以下两条：（1）g^(p-1) mod p =1   (2) 任意k在[1,p-1)范围内，都有g^k mod p ≠ 1 

3.由原根的第二条性质，可以推出下面一条性质: 对 1<=x

4.有了上面这条性质，可以设一个函数: g^q(x) = x (mod p) ,其中，g=3,p=998244353，而且这个函数一定是一个双射函数

5.设h1,h2...hk-1 ,其中hi = q（fi）

6.那么fn的原式变为： 左边: g^hn ,  右边变为: g^∑{j=1}{j=k}（hi-j * bj）mod p

7.由 “4”，可以得到 hn =  ∑{j=1}{j=k}（hi-j * bj）mod p

8.由费马小定理，hn mod (p-1) = ∑{j=1}{j=k}（hi-j * bj）mod (p-1)

9.有这个推式可以想得到“矩阵快速幂”，其中，bj是每一项的系数

10.由“8”，可以猜测 hn = C*hk mod (p-1),其中C是一个常数（通过矩阵快速幂来得到）

11.设一个递推矩阵为"A"：

b1,b2......bk

1,0,..........0

0,1...........0

0,0,1........0

........

0,0........1,0

12. 设一个系数矩阵为“B”：

hk-1

hk-2

..

..

h2

h1

13.那么，容易得到B_n = A^(n-k)*B

14.C = B_n[0][0]

15.观察式子: fn = g^hn,已知fn，g，怎么求hn？ ===》BSGS算法，得到hn

16.有了hn和g，怎么算hk? ====》 观察式子： hn = C*hk (mod p-1),可以把式子转化为模线性方程，代入exgcd(hn,p-1)得到hk（或-1）

17.有了hk，观察式子：fk = g^hk (mod p),这时只要用快速幂算法，代入qpow(g,hk,p)即可