157、K-近邻算法(KNN)

1.1 K-近邻算法(KNN)概念

K Nearest Neighbor算法又叫KNN算法，这个算法是机器学习里面一个比较经典的算法， 总体来说KNN算法是相对比较容易理解的算法

• 定义

如果一个样本在特征空间中的k个最相似(即特征空间中最邻近)的样本中的大多数属于某一个类别，则该样本也属于这个类别。

来源：KNN算法最早是由Cover和Hart提出的一种分类算法

• 实现流程

1）计算已知类别数据集中的点与当前点之间的距离

2）按距离递增次序排序

3）选取与当前点距离最小的k个点

4）统计前k个点所在的类别出现的频率

5）返回前k个点出现频率最高的类别作为当前点的预测分类

1.2 距离度量

1 欧式距离(Euclidean Distance)：

欧氏距离是最容易直观理解的距离度量方法，我们小学、初中和高中接触到的两个点在空间中的距离一般都是指欧氏距离。

2 曼哈顿距离(Manhattan Distance)：

在曼哈顿街区要从一个十字路口开车到另一个十字路口，驾驶距离显然不是两点间的直线距离。这个实际驾驶距离就是“曼哈顿距离”。曼哈顿距离也称为“城市街区距离”(City Block distance)。

3 切比雪夫距离 (Chebyshev Distance)：

国际象棋中，国王可以直行、横行、斜行，所以国王走一步可以移动到相邻8个方格中的任意一个。国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？这个距离就叫切比雪夫距离。

4 闵可夫斯基距离(Minkowski Distance)：

1 闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义，是对多个距离度量公式的概括性的表述。

两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

e.g. 二维样本(身高[单位:cm],体重[单位:kg]),现有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。

a与b的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c的闵氏距离。但实际上身高的10cm并不能和体重的10kg划等号。

2 闵氏距离的缺点：

​ (1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”相同的看待了;

​ (2)未考虑各个分量的分布（期望，方差等）可能是不同的。

5 标准化欧氏距离 (Standardized EuclideanDistance)：

标准化欧氏距离是针对欧氏距离的缺点而作的一种改进。

思路：既然数据各维分量的分布不一样，那先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等。假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standard deviation)为s，X的“标准化变量”表示为：

如果将方差的倒数看成一个权重，也可称之为加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。

6 余弦距离(Cosine Distance)

几何中，夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异；机器学习中，借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

• 二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：
• 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦为：
• 夹角余弦取值范围为[-1,1]。余弦越大表示两个向量的夹角越小，余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反余弦取最小值-1。

7 汉明距离(Hamming Distance)

两个等长字符串s1与s2的汉明距离为：将其中一个变为另外一个所需要作的最小字符替换次数。

汉明重量：是字符串相对于同样长度的零字符串的汉明距离，也就是说，它是字符串中非零的元素个数：对于二进制字符串来说，就是 1 的个数，所以 11101 的汉明重量是 4。因此，如果向量空间中的元素a和b之间的汉明距离等于它们汉明重量的差a-b。

应用：汉明重量分析在包括信息论、编码理论、密码学等领域都有应用。比如在信息编码过程中，为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大。但是，如果要比较两个不同长度的字符串，不仅要进行替换，而且要进行插入与删除的运算，在这种场合下，通常使用更加复杂的编辑距离等算法。

8 杰卡德距离(Jaccard Distance)

杰卡德相似系数(Jaccard similarity coefficient)：两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示：

杰卡德距离(Jaccard Distance)：与杰卡德相似系数相反，用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度：

9 马氏距离(Mahalanobis Distance)

下图有两个正态分布图，它们的均值分别为a和b，但方差不一样，则图中的A点离哪个总体更近？或者说A有更大的概率属于谁？显然，A离左边的更近，A属于左边总体的概率更大，尽管A与a的欧式距离远一些。这就是马氏距离的直观解释。

马氏距离是基于样本分布的一种距离。

马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个位置样本集的相似度的方法。

与欧式距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系，即独立于测量尺度。

马氏距离定义：设总体G为m维总体（考察m个指标），均值向量为μ=（μ1，μ2，… ...，μm，）`,协方差阵为∑=（σij）,

马氏距离也可以定义为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为∑的随机变量的差异程度：如果协方差矩阵为单位矩阵，马氏距离就简化为欧式距离；如果协方差矩阵为对角矩阵，则其也可称为正规化的欧式距离。

马氏距离特性：

1.量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰；

2.马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；

3 .计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。

4.还有一种情况，满足了条件总体样本数大于样本的维数，但是协方差矩阵的逆矩阵仍然不存在，比如三个样本点（3，4），（5，6），（7，8），这种情况是因为这三个样本在其所处的二维空间平面内共线。这种情况下，也采用欧式距离计算。

1.3 k值的选择

K值过小：

​ 容易受到异常点的影响

k值过大：

​ 受到样本均衡的问题

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K值选择问题，李航博士的一书「统计学习方法」上所说：

1) 选择较小的K值，就相当于用较小的领域中的训练实例进行预测，“学习”近似误差会减小，只有与输入实例较近或相似的训练实例才会对预测结果起作用，与此同时带来的问题是“学习”的估计误差会增大，换句话说，K值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合；

2) 选择较大的K值，就相当于用较大领域中的训练实例进行预测，其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时候，与输入实例较远（不相似的）训练实例也会对预测器作用，使预测发生错误，且K值的增大就意味着整体的模型变得简单。

3) K=N（N为训练样本个数），则完全不足取，因为此时无论输入实例是什么，都只是简单的预测它属于在训练实例中最多的类，模型过于简单，忽略了训练实例中大量有用信息。

在实际应用中，K值一般取一个比较小的数值，例如采用交叉验证法（简单来说，就是把训练数据在分成两组:训练集和验证集）来选择最优的K值。对这个简单的分类器进行泛化，用核方法把这个线性模型扩展到非线性的情况，具体方法是把低维数据集映射到高维特征空间。

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近似误差：对现有训练集的训练误差，关注训练集，如果近似误差过小可能会出现过拟合的现象，对现有的训练集能有很好的预测，但是对未知的测试样本将会出现较大偏差的预测。模型本身不是最接近最佳模型。

估计误差：可以理解为对测试集的测试误差，关注测试集，估计误差小说明对未知数据的预测能力好，模型本身最接近最佳模型。