循环 & 递归 & 递推 之间的联系和区别

1、递归算法与循环的设计思路区别在于:函数或算法是否具备收敛性,当且仅当一个算法存在预期的收敛效果时,采用递归算法才是可行的,否则,就不能使用递归算法。


2、从理论上说,所有的递归函数都可以转换为循环函数,然而代价通常都是比较高的。
  但从算法结构来说,递归声明的结构并不总能够转换为循环结构,原因在于结构的引申本身属于递归的概念,用循环的方法在设计初期根本无法实现,这就像动多态的东西并不总是可以用静多态的方法实现一样。 这也是为什么在结构设计时,通常采用递归的方式而不是采用迭代的方式的原因,一个极典型的例子类似于链表,使用递归遍历及其简单,但对于内存定义(数组方式)其定义及调用处理说明就变得很晦涩,尤其是在遇到环链、图、网格等问题时,使用循环方式从描述到实现上都变得很不现实。
 
3、递归其实是方便了程序员难为了机器。它只要得到数学公式就能很方便的写出程序。优点就是易理解,容易编程。但递归是用栈机制实现的(c++),每深入一层,都要占去一块栈数据区域,对嵌套层数深的一些算法,递归会力不从心,空间上会以内存崩溃而告终,而且递归也带来了大量的函数调用,这也有许多额外的时间开销。所以在深度大时,它的时空性就不好了。
循环其缺点就是不容易理解,编写复杂问题时困难。优点是效率高。运行时间只因循环次数增加而增加,没什么额外开销。空间上没有什么增加。
 
4、循环和递归的空间复杂度比较:局部变量占用的内存是一次性的,也就是O(1)的空间复杂度,而对于递归(不考虑尾递归优化的情况),每次函数调用都要压栈,那么空间复杂度是O(n),和递归次数呈线性关系。
 
5、循环和递归的本质相似性:递归程序改用循环实现的话,一般都是要自己维护一个栈的,以便状态的回溯。如果某个递归程序改用循环的时候根本就不需要维护栈,那其实这个递归程序这样写只是意义明显一些,不一定要写成递归形式。但很多递归程序就是为了利用函数自身在系统栈上的auto变量记录状态,以便回溯。原理上讲,所有递归都是可以消除的,代价就是可能自己要维护一个栈。不过很多情况下用递归还是必要的,它往往能把复杂问题分解成更为简单的步骤,而且很能反映问题的本质。


递归和递推的区别: 
 
一、递归和递推有一定的相似性
这两个问题都可以描述为以下形式:
f(n)=g(f(n-1),…,f(0))
这是二者的共同特点。
 
二、不同点:
1,从程序上看,递归表现为自己调用自己,递推则没有这样的形式。
2,递归是从问题的最终目标出发,逐渐将复杂问题化为简单问题,最终求得问题是逆向的。
     递推是从简单问题出发,一步步的向前发展,最终求得问题。是正向的。
3,递归中,问题的n要求是计算之前就知道的;
     递推可以在计算中确定,不要求计算前就知道n。
4,一般来说,递推的效率高于递归(当然是递推可以计算的情况下)
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总结: 


由于一切递归问题都可以转化为循环求解,因此我们可以定义广义递归:
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如果转化为循环后,需要自己维护堆栈,则仍称为是递归的。         |
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 在这个定义下,有些问题适用于用递归求解,如汉诺塔问题有些问题适用于用递推来做,如求满足N!>M条件时最小的N。有些问题二者都可以,如给定N时的阶乘问题。至于可读性,与问题有关,不能一概而论。
 
递归其实就是利用系统堆栈,实现函数自身调用,或者是相互调用的过程。在通往边界的过程中,都会把单步地址保存下来,知道等出边界,再按照先进后出的进行运算,这正如我们装木桶一样,每一次都只能把东西方在最上面,而取得时候,先放进取的反而最后取出。递归的数据传送也类似。但是递归不能无限的进行下去,必须在一定条件下停止自身调用,因此它的边界值应是明确的。就向我们装木桶一样,我们不能总是无限制的往里装,必须在一定的时候把东取出来。比较简单的递归过程是阶乘函数,你可以去看一下。但是递归的运算方法,往往决定了它的效率很低,因为数据要不断的进栈出栈。这时递推便表现出它的作用了,所谓递推,就是免除了数据进出栈的过程。也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,而直接从边界出发,直到求出函数值。


比如,阶乘函数中,递归的数据流动过程如下: 
f(3){f(i)=f(i-1)*i}-->f(2)-->f(1)-->f(0){f(0)=1}-->f(1)-->f(2)--f(3){f(3)=6}
而递推如下:
f(0)-->f(1)-->f(2)-->f(3)
 
由此可见,递推的效率要高一些,在可能的情况下应尽量使用递推。但是递归作为比较基础的算法,它的作用不能忽视。所以,在把握这两种算法的时候应该特别注意。

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