捡金币

3.捡金币
（coin.cpp/c/pas）
【问题描述】
小空正在玩一个叫做捡金币的游戏。游戏在一个被划分成n行n列的网格状场地中进行。
每一个格子中都放着若干金币，并且金币的数量会随着时间而不断变化。小空的任务就是在
网格中移动，拾取尽量多的金币。并且，小空还有一个特殊技能“闪现”，能帮助她在网格间
快速移动。
捡金币游戏的具体规则如下：在每一秒开始时，每个网格内都会出现一定数量的金币，
而之前在这格没有被拾取的金币就消失了。在游戏开始时，也就是第 1 秒的开始，小空可以
选择任意一个网格作为起点开始本次游戏，并拾取起点内的金币。之后，在下一秒到来前，
小空可以选择走路移动到与她所在的格子上、下、左、右相邻的一个格子中，或者呆在原地
不动，并在下一秒开始时拾取到她所在的格子中的金币。或者，小空可以选择使用闪现技能，
使用一次闪现时，她先选择上、下、左、右一个方向，之后向该方向移动两格。小空可以在
一秒内使用多次闪现，但不能超过 C 次。在一秒内使用的多次闪现必须向同一个方向移动，
若使用 x 次闪现，便可以向一个方向移动正好 2x 格，并且她也只能在下一秒开始时收集到
连续闪现结束后所在的那一格中的金币。如果在某一秒钟小空使用了闪现，那么她就不能选
择通过走路移动了，反过来也是如此。无论走路或者使用闪现，小空都不能移动到整个场地
之外。整个游戏共进行 T 秒，在第 T 秒开始时，小空将会拾取她所在的格子中的金币，并结
束游戏。小空在整局游戏内一共只能使用最多 W 次闪现。
举个例子，在如下 3*3 的场地中，游戏共进行 3 秒，下表列出了 3 秒开始时每一格内的
金币数量。
如果小空选择在第 1 行第 1 列开始游戏，那么在第 1 秒开始时她会获得 1 枚金币。接下
来，如果她选择向右走，那么在第 2 秒开始时她会出现在第 1 行第 2 列并获得 3 枚金币。接
下来，过她选择向下进行 1 次闪现，那么在第 3 秒开始时她会出现在第 3 行第 2 列并获得 2
枚金币，游戏结束，一共获得 6 枚金币。
又如，在如下 5*5 的场地中（只列出了第 1 行所含金币数），游戏共进行 2 秒，如果小
空选择在第 1 行第 1 列开始游戏，则她会获得 1 枚硬币，之后若向右连续闪现 2 次，那么在
第 2 秒开始时她会出现在第 1 行第 5 列，并获得 2 枚硬币，总共获得 3 枚硬币。
现在，给出游戏场地的大小 n，每秒钟开始时各个位置会出现的金币数，小空一秒内最
多使用闪现的次数 C，小空在整局游戏中使用闪现的最多次数 W，整局游戏的总时间 T，请
你告诉小空她最多可以获得多少枚金币。
【输入】
输入的第 1 行包含 4 个整数 n，C，W，T，意义如问题描述中所述。
接下来包含 n 个 n*n 的矩阵，第 k 个矩阵的第 i 行第 j 列表示第 i 行第 j 列的格子在第 k
秒开始时出现的金币数（记作s i,j,k ）。相邻两个矩阵间用一个空行隔开。
【输出】
输出包含一个整数，表示游戏结束时小空最多可以获得的金币数量。
【输入输出样例 1】
coin.in  coin.out
3 1 1 3
1 3 4
3 2 1
1 3 2
2 3 1
1 3 2
2 1 4
3 3 1
3 2 1
2 3 1
11
见选手目录下的 coin / coin1.in 与 coin / coin1.out
【输入输出样例 1 说明】
选择在第 1 行第 3 列开始游戏，获得 4 枚金币；在第 2 秒开始时向下闪现到第 3 行第 3
列，获得 4 枚金币；在第 3 秒开始时向左走到第 3 行第 2 列，获得 3 枚金币，游戏结束。一
共获得 11 枚金币。
【输入输出样例 2】
见选手目录下的 coin / coin2.in 与 coin / coin2.out
【数据规模与约定】
测试点编号  n  C  W  T  s i,j,k
1
≤5  ≤2  ≤4  ≤5
≤1,000
2
3
4
≤21  ≤10  ≤80  ≤80  5
6
7
≤25
=100
≤150  ≤100
8
9
≤12
10

对 100%的数据，n≥1，C≥0，W≥0，T≥1，s i,j,k ≥0

分析：

根据题意可以很直白的得出状态f[T][x][y][k]表示T秒，(x,y),总共用了k次闪现。加个滚动数组优化一维。因为走的转移为O(1),而闪现的转移：

f[T][x][y][k]=max(f[T][nx][ny][k-use])，(nx,ny)为闪现use次后的坐标，需要O(C)的时间，转移，这是我们优化的重点，我们必须将其优化为O(1)才能过，怎么办？O(1)->单调队列维护转移。

我们画一个图，以向左闪现为例：

f[T][x][y][k]=max(f[T][x][y+2][k-1],f[T][x][y+2*2][k-1*2],f[T][x][y+2*3][k-1*3].....)

我们可以维护一个单调队列q[head]=max(f[T][x][y+2][k-1]....),并转移到f[T][x][y][k]后，将其加入队列，以便维护下一个f[T][x][y-2][k+1]以O(1)转移。

参考程序：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn=160;
int a[maxn][maxn],vis[maxn][maxn];
int f[2][160][110][110];
int direction[4][2]={
	{1,0},{0,1},{-1,0},{0,-1},
};
int n,C,W,T,res=0,cnt=0,tag=0,head,tail;
int q[maxn*maxn],qc[maxn*maxn];
const int inf=1e9+7;
bool ok(int x,int y){
	if (0=q[tail])sum+=qc[tail--];
	q[++tail]=x;qc[tail]=sum;
	if (++cnt>C)if (--qc[head]==0)head++;
}
int main(){
	freopen("coin.in","r",stdin);
	freopen("coin.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d%d",&n,&C,&W,&T);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&f[0][0][i][j]);
	for (int K=1;K0;y--)
				for (int j=0;j<=W;j++)
					if (vis[y][j]!=tag){
						clear();
						int yy=y,jj=j;
						while (yy>0 && jj<=W){
							vis[yy][jj]=tag;
							f[p][jj][x][yy]=max(f[p][jj][x][yy],q[head]);
							push(f[t][jj][x][yy]);
							yy-=2;
							jj++;
						}
					}
		}
		for (int y=1;y<=n;y++){
			++tag;
			for (int x=1;x<=n;x++)
				for (int j=0;j<=W;j++)
					if (vis[x][j]!=tag){
						clear();
						int xx=x,jj=j;
						while (xx<=n && jj<=W){
							vis[xx][jj]=tag;
							f[p][jj][xx][y]=max(f[p][jj][xx][y],q[head]);
							push(f[t][jj][xx][y]);
							xx+=2;
							jj++;
						}
				    }
			++tag;
			for (int x=n;x>0;x--)
				for (int j=0;j<=W;j++)
					if (vis[x][j]!=tag){
						clear();
						int xx=x,jj=j;
						while (xx>0 && jj<=W){
							vis[xx][jj]=tag;
							f[p][jj][xx][y]=max(f[p][jj][xx][y],q[head]);
							push(f[t][jj][xx][y]);
							xx-=2;
							jj++;
						}
					}
		}
		for (int x=1;x<=n;x++)
			for (int y=1;y<=n;y++)
				for (int j=0;j<=W;j++){
					f[p][j][x][y]=max(f[p][j][x][y],f[t][j][x][y]);
					for (int k=0;k<5;k++){
						int nx=x+direction[k][0];
						int ny=y+direction[k][1];
						if (ok(nx,ny))f[p][j][x][y]=max(f[p][j][x][y],f[t][j][nx][ny]);
					}
				}
		for (int x=1;x<=n;x++)
			for (int y=1;y<=n;y++)
				for (int j=0;j<=W;j++)
					f[p][j][x][y]+=a[x][y];
	}
	int p=(T-1)&1;
	for (int x=1;x<=n;x++)
		for (int y=1;y<=n;y++)
			for (int j=0;j<=W;j++)
			    res=max(res,f[p][j][x][y]);
	printf("%d",res);
	return 0;
}