动态规划python实现

什么叫动态规划问题?

考虑一个场景：当你有去沙漠旅行，你有一个背包和一些物品，背包有最大承受重量，物品也有重量和价值，而物品种类很多，不可能全都装在背包里，如何去选取价值总量最高的物品组合呢？

物品价值表

物品名	价值
water	10
book	3
food	9
jacket	5
camera	6

物品重量表

物品名	重量
water	3kg
book	1kg
food	2kg
jacket	2kg
camera	1kg

考虑使用贪婪算法，那就是什么价值高就优先拿什么，但有时这种近似解会不准，这时就要采用动态规划方法：从小问题入手，逐步解决大问题，可以帮助你在给定约束条件下找到最优解

首先定义一个表格，横坐标是背包重量，纵坐标是物品名称，填入值是当前物品，当前背包重量的最大价值:

物品/背包重量	1kg	2kg	3kg	4kg	5kg	6kg
water
book
food
jacket
camera

动态规划的解决方案就是把这张表填好，然后根据背包重量选择在该重量下最大价值所组成的物品

填入规则：每一行只能拿取当前行和之前行的物品

先看第一行water,这时只有water，没有之前的物品，而water的重量是3kg，那么在1kg,2kg的背包就装不下water，在3kg以上重量的背包就可以放入water,结果如下:

注：这时候只有水，没有其他的

现在再看第二行book，这时候可以拿的物品就有book和water，而book的重量是1kg

在1kg背包时可以放入book

2kg背包也只能放book（water放不下）

当3kg的背包时，这时候会面临选择，因为water的重量是3kg，可以放water，也可以放book，那么取价值最大的放进背包（water的价值是10，book是3）

当4kg的背包时，water和book的总重正好是4kg，这时可以把这两个都放进去，所以第二行结果如下：

再看第三行，这时候可以拿water,book,food

在1kg背包时还是只能放下book

当2kg背包时多了个选项，因为food的重量是2kg，所以去价值最大的放在包里（food的价值是9）

3kg的时候的选择有：（1）放入water,(2)放入book,food，对比价值大小选择放入book和food,

4kg时根据价值最大原则，放入food和water

5kg时放入water和food

6kg是放入water,food,book刚好都放下了

结果为：

第四行和第五行也是采用这样的策略填入价值，最终结果为：

其实这里填的数字是有规律的：

现为方便说明把上面的图表转化为矩阵为：

那么填入的原则为：

    table[i][j]= max(table[i-1][j],当前商品的价值+剩余空间价值(table[i-1][j-当前商品重量])）

注：如果处于特殊位置，如table[0][0]单元格，没有table[i-1][j]那么就是0  

例：

table[3][4]=max(table[2][4],worth(jacket)+table[2][4-weight(jacket)])

                =max(19,5+10)

                =19

与之前一步步推算的结果一致

又例：

table[0][4]=max(table[0-1][4],worth(water)+table[0-1][4-weight(water)]     （因为是第一行，所以有些数据是空的,定为0）

                 =max(0,10+0)

                =10

同样与之前推算的结果一致

那既然有逻辑有公式，那就可以写代码了:

python版本3.6

使用库：numpy

#动态规划
import numpy as np

#定义重量
weight={}
weight["water"]=3
weight["book"]=1
weight["food"]=2
weight["jacket"]=2
weight["camera"]=1
#定义价值
worth={}
worth["water"]=10
worth["book"]=3
worth["food"]=9
worth["jacket"]=5
worth["camera"]=6

#存放行标对应的物品名:
table_name={}
table_name[0]="water"
table_name[1]="book"
table_name[2]="food"
table_name[3]="jacket"
table_name[4]="camera"


#创建矩阵,用来保存价值表
table=np.zeros((len(weight),6))

#创建矩阵，用来保存每个单元格中的价值是如何得到的（物品名）
table_class=np.zeros((len(weight), 6), dtype=np.dtype((np.str_,500)))

for i in range(0,len(weight)):
    for j in range(0,6):
        # 获取重量
        this_weight = weight[table_name[i]]
        # 获得价值
        this_worth = worth[table_name[i]]
        #获取上一个单元格 (i-1,j)的值
        if(i>0):
            before_worth=table[i-1,j]
            #获取（i-1,j-重量）
            temp=0
            if(this_weight<=j):
                temp=table[i-1,j-this_weight]
            #(i-1,j-this_weight)+求当前商品价值
            #判断this_worth能不能用，即重量有没有超标，如果重量超标了是不能加的
            synthesize_worth=0
            if(this_weight-1<=j):
                synthesize_worth=this_worth+temp
            #与上一个单元格比较,哪个大写入哪个
            if(synthesize_worth>before_worth):
                table[i,j]=synthesize_worth
                if(temp==0):
                    #他自己就超过了
                    table_class[i][j] = table_name[i]
                else:
                    # 他自己和(i-1,j-this_weight)
                    table_class[i][j] = table_name[i] + "," + table_class[i - 1][j - this_weight]
            else:
                table[i,j]=before_worth
                table_class[i][j]=table_class[i-1][j]
        else:
            #没有（i-1,j）那更没有(i-1,j-重量),就等于当前商品价值,或者重量不够，是0
            if(this_weight-1<=j):
                table[i,j]=this_worth
                table_class[i][j]=table_name[i]
print(table)

print("--------------------------------------")

print(table_class)

最终结果：

如图红框部分可知：当背包重量为6kg是，选择camera,food,water可使价值最大